Soit les questions suivantes :
Combien de fois faut-il additionner \(2 \times 10^{-2}\) pour obtenir \(2 \times 10^{3}\) ?
Combien de fois \(4 \times 10^{2}\) s se trouve dans \(4 \times 10^{5}\) s ?
Combien de fois \(30\) g se trouve dans \(3 \times 10^{4}\) g ?
Combien de fois \(5 \times 10^{-3}\) m se trouve dans \(5 \times 10^{2}\) m ?
Combien de fois \(3 \times 10^{-2}\) m\(^2\) se trouve dans \(1\) m\(^2\) ?
Voici la correction détaillée de chaque question :
On cherche le nombre \(n\) tel que : \[ n \times \left(2 \times 10^{-2}\right) = 2 \times 10^{3}. \] Pour trouver \(n\), on divise les deux côtés de l’équation par \(2 \times 10^{-2}\) : \[ n = \frac{2 \times 10^{3}}{2 \times 10^{-2}}. \] Les \(2\) se simplifient : \[ n = \frac{10^{3}}{10^{-2}}. \] Pour diviser deux puissances de 10, on soustrait les exposants (en tenant compte du signe) : \[ n = 10^{3 - (-2)} = 10^{3+2} = 10^{5}. \]
Réponse a) : Il faut additionner \(2 \times 10^{-2}\) exactement \(10^{5}\) fois.
On souhaite savoir combien de fois \(4 \times 10^{2}\) secondes se trouve dans \(4 \times 10^{5}\) secondes. On effectue la division : \[ \frac{4 \times 10^{5}}{4 \times 10^{2}}. \] Les \(4\) se simplifient : \[ \frac{10^{5}}{10^{2}}. \] En soustrayant les exposants on obtient : \[ 10^{5-2} = 10^{3}. \]
Réponse b) : \(4 \times 10^{2}\) s se trouve \(10^{3}\) fois dans \(4 \times 10^{5}\) s.
Il faut déterminer combien de fois \(30\) grammes se trouve dans \(3 \times 10^{4}\) grammes. Écrivons \(30\) sous forme scientifique : \[ 30 = 3 \times 10^{1}. \] On effectue alors la division : \[ \frac{3 \times 10^{4}}{3 \times 10^{1}}. \] Les \(3\) se simplifient et on a : \[ \frac{10^{4}}{10^{1}} = 10^{4-1} = 10^{3}. \]
Réponse c) : \(30\) g se trouve \(10^{3}\) fois dans \(3 \times 10^{4}\) g.
Nous cherchons combien de fois \(5 \times 10^{-3}\) m se trouve dans \(5 \times 10^{2}\) m. La division est : \[ \frac{5 \times 10^{2}}{5 \times 10^{-3}}. \] Les \(5\) se simplifient : \[ \frac{10^{2}}{10^{-3}}. \] En combinant les puissances de 10 : \[ 10^{2 - (-3)} = 10^{2 + 3} = 10^{5}. \]
Réponse d) : \(5 \times 10^{-3}\) m se trouve \(10^{5}\) fois dans \(5 \times 10^{2}\) m.
On calcule combien de portions de \(3 \times 10^{-2}\) m\(^2\) sont contenues dans \(1\) m\(^2\). Il faut diviser : \[ \frac{1 \text{ m}^2}{3 \times 10^{-2} \text{ m}^2}. \] On écrit le résultat sous forme fractionnaire : \[ \frac{1}{3 \times 10^{-2}} = \frac{1}{0.03}. \] Pour simplifier, multiplions numérateur et dénominateur par 100 : \[ \frac{1 \times 100}{3 \times 10^{-2} \times 100} = \frac{100}{3}. \] Cette fraction représente exactement le résultat.
Réponse e) : \(3 \times 10^{-2}\) m\(^2\) se trouve \(\frac{100}{3}\) fois dans \(1\) m\(^2\) (ce qui correspond à environ \(33,33\) fois).
Ces étapes détaillent la manière de procéder pour chaque question en utilisant la division en notation scientifique et en simplifiant les puissances de 10.