Exercice :
Affiche sur l’écran de ta calculatrice le plus grand nombre composé uniquement du chiffre \(7\) (c’est-à-dire un nombre de la forme \(\underbrace{77\ldots7}_{n \text{ fois}}\)) puis ajoute \(1\). Explique ce qui se passe et pourquoi.
Détermine quel est le plus grand nombre que ta calculatrice peut afficher.
Ajouter 1 au plus grand nombre composé uniquement de 7 n’affecte pas l’affichage, car la calculatrice ne peut distinguer ce petit changement en raison de sa précision limitée.
Le plus grand nombre affichable est du type 9.999…9 × 10^p, où les 9 forment la mantisse avec n chiffres significatifs et p est l’exposant maximal.
On va expliquer étape par étape ce qui se passe sur ta calculatrice lorsque tu réalises cet exercice.
1. Écriture du plus grand nombre composé de 7
Sur ta calculatrice, tu es invité(e) à taper un nombre dont tous les
chiffres sont des 7, par exemple
\[
77\ldots7,
\]
c’est-à-dire un nombre de la forme
\[
\underbrace{77\ldots7}_{n \text{ fois}}
\]
où \(n\) correspond au nombre maximal
de chiffres que ton écran permet d’afficher. Cette façon de faire «
remplit » la zone d’affichage avec le chiffre 7.
2. Ajout de 1 à ce nombre
Mathématiquement, si tu as un nombre comme
\[
N = \underbrace{77\ldots7}_{n \text{ chiffres}},
\]
alors théoriquement, on a
\[
N + 1.
\] Or, en additionnant 1, le résultat attendu serait un nombre
dont les chiffres changeraient à cause d’une retenue. Par exemple, en
arithmétique habituelle, si on écrit
\[
77 + 1 = 78,
\]
on constate que le dernier chiffre passe de 7 à 8 (le reste des chiffres
reste identique ici car il n’y a pas de dépassement de seuil dans tous
les cas).
3. Problème de précision de la calculatrice
La particularité ici est que ta calculatrice affiche un nombre ayant un nombre fixe de chiffres significatifs. Cela signifie que la calculatrice travaille en arrondissant les résultats pour tenir compte de la limite de son affichage. Lorsque tu saisis le nombre composé uniquement de 7, il s’agit du plus grand nombre que la calculatrice peut exactement afficher avec sa précision limitée.
En ajoutant 1, la modification apportée est « infime » par rapport à l’échelle du nombre très grand affiché. La calculatrice ne parvient pas à distinguer ce petit changement à cause de la précision limitée de son calcul en virgule flottante. Autrement dit, l’unité ajoutée se trouve dans une zone de la valeur qui est au delà du nombre de chiffres significatifs disponibles, et le résultat final affiché reste identique au nombre initial (ou l’erreur d’arrondi annule l’effet visible de l’ajout de 1).
En résumé de la partie a) :
- Tu affiches le plus grand nombre possible composé uniquement du
chiffre 7 (c’est-à-dire avec \(n\)
chiffres, \(n\) étant la capacité de
ton écran). - Quand tu ajoutes 1, le changement est trop petit pour être
pris en compte compte tenu du nombre limité de chiffres significatifs.
La calculatrice arrondit donc, et le résultat affiché ne change pas.
Déterminer le plus grand nombre que ta calculatrice peut afficher
Chaque calculatrice a une capacité d’affichage limitée. Cette limite dépend : - Du nombre de chiffres significatifs que l’appareil peut afficher. - De la notation utilisée (souvent une notation scientifique).
Par exemple, sur nombre de calculatrices scientifiques, les résultats sont affichés sous la forme : \[ a \times 10^b, \] avec \(a\) comportant un certain nombre de chiffres (souvent entre 8 et 12 chiffres) et \(b\) étant un exposant qui peut varier dans une plage donnée (par exemple, de \(-99\) à \(99\) sur certains modèles).
Si on considère que ta calculatrice affiche exactement \(n\) chiffres significatifs, le plus grand
nombre affichable aura :
- Une mantisse maximale proche de \(9.999\ldots9\) (c’est-à-dire \(n\) chiffres tous égaux à 9),
- Un exposant maximal autorisé par l’appareil.
On peut donc écrire le plus grand nombre affichable comme : \[ \text{Nombre max} = 9.999\ldots9 \times 10^{p}, \] où \(9.999\ldots9\) comporte \(n\) chiffres significatifs et \(p\) est le plus grand exposant permise par ta calculatrice.
Exemple concret (à titre indicatif) :
Si ta calculatrice utilise 10 chiffres significatifs et que l’exposant maximal est \(99\), alors le plus grand nombre affichable serait : \[ 9.999999999 \times 10^{99}. \] (Remarque : La valeur exacte dépend du modèle précis de ta calculatrice.)
a) Lorsque tu affiches le plus grand nombre composé uniquement du chiffre 7 et que tu ajoutes 1, ce dernier n’affecte pas l’affichage parce que ta calculatrice travaille avec un nombre fixe de chiffres significatifs. L’ajout de 1 tombe en dehors de la précision de l’appareil, et le nombre affiché reste le même que le « nombre maximal » déjà inscrit.
b) Le plus grand nombre que ta calculatrice peut
afficher est déterminé par la capacité de sa mantisse (le nombre de
chiffres significatifs) et la plage de son exposant. Il s’exprime sous
la forme
\[
9.999\ldots9 \times 10^{p},
\] avec \(9.999\ldots9\) (avec
\(n\) chiffres) et \(p\) l’exposant maximum. La valeur exacte
dépend du modèle de ta calculatrice.
Cette démonstration met en lumière les limites de la représentation numérique sur une calculatrice, illustrant que même si mathématiquement \(N + 1\) est différent de \(N\), la précision limitée de l’appareil peut rendre ce changement indétectable à l’affichage.