Exercice 73

Exercice

Ordonner les nombres suivants en ordre croissant :

1. \(\frac{1}{2}\), \(\frac{4}{5}\), \(-\frac{2}{5}\), \(\frac{2}{3}\), \(-1,5\)

2. \(-\frac{4}{21}\), \(\frac{1}{3}\), \(-\frac{2}{3}\), \(\frac{5}{42}\), \(-\frac{1}{7}\), \(\frac{2}{7}\)

Réponse

Réponses :

1. -1,5 ; -2/5 ; 1/2 ; 2/3 ; 4/5

2. -2/3 ; -4/21 ; -1/7 ; 5/42 ; 2/7 ; 1/3

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée pour ordonner les nombres en ordre croissant.

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Partie 1

Nombres à ordonner :
\[ \frac{1}{2},\quad \frac{4}{5},\quad -\frac{2}{5},\quad \frac{2}{3},\quad -1,5 \quad (\text{soit } -1{,}5) \]

Étape 1 : Comparer les signes

• Les nombres négatifs sont toujours plus petits que les nombres positifs.
  
• Ici, nous avons deux nombres négatifs : \(-\frac{2}{5}\) et \(-1,5\).
  
• Les trois autres sont positifs : \(\frac{1}{2}\), \(\frac{4}{5}\) et \(\frac{2}{3}\).

Étape 2 : Comparer les nombres négatifs

Pour les nombres négatifs, plus le nombre a une plus grande valeur numérique (en valeur absolue), plus il est petit sur la droite numérique.

1. \(-1{,}5\) peut être écrit en fraction décimale :
   \[ -1{,}5 = -1,5 \] On remarque que \(1{,}5 > \frac{2}{5} \approx 0{,}4\).
   Donc, \(-1{,}5\) est plus petit que \(-\frac{2}{5}\).

2. \(-\frac{2}{5}\) reste tel quel.

Donc, ordre entre les négatifs :
\[ -1{,}5 < -\frac{2}{5} \]

Étape 3 : Comparer les nombres positifs

Pour comparer \(\frac{1}{2}\), \(\frac{4}{5}\) et \(\frac{2}{3}\), nous pouvons les convertir en nombres décimaux ou les mettre au même dénominateur.

• \(\frac{1}{2} = 0{,}5\)
• \(\frac{4}{5} = 0{,}8\)
• \(\frac{2}{3} \approx 0{,}6667\)

En ordre croissant, on a : \[ 0{,}5 < 0{,}6667 < 0{,}8, \] ce qui donne : \[ \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{4}{5}. \]

Étape 4 : Rassembler le tout

En partant du plus petit au plus grand, on place d’abord les nombres négatifs, puis les positifs :

\[ -1{,}5,\quad -\frac{2}{5},\quad \frac{1}{2},\quad \frac{2}{3},\quad \frac{4}{5}. \]

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Partie 2

Nombres à ordonner :
\[ -\frac{4}{21},\quad \frac{1}{3},\quad -\frac{2}{3},\quad \frac{5}{42},\quad -\frac{1}{7},\quad \frac{2}{7}. \]

Étape 1 : Identifier les nombres négatifs et positifs

• Nombres négatifs : \(-\frac{4}{21}\), \(-\frac{2}{3}\), \(-\frac{1}{7}\)
  
• Nombres positifs : \(\frac{1}{3}\), \(\frac{5}{42}\), \(\frac{2}{7}\)

Étape 2 : Comparer les nombres négatifs

Trouvons un ordre pour \(-\frac{2}{3}\), \(-\frac{4}{21}\) et \(-\frac{1}{7}\).

1. Comparons \(-\frac{2}{3}\) avec les autres :
   \[ -\frac{2}{3} \approx -0{,}6667. \] Ce nombre est clairement le plus petit parmi les négatifs.

2. Pour comparer \(-\frac{4}{21}\) et \(-\frac{1}{7}\), exprimons-les avec un dénominateur commun.
   Le dénominateur commun peut être 21 :
   \[ -\frac{4}{21} \quad (\text{reste tel quel}),\quad -\frac{1}{7} = -\frac{3}{21}. \] Entre \(-\frac{4}{21}\) et \(-\frac{3}{21}\) :
   \(-\frac{4}{21}\) est plus petit que \(-\frac{3}{21}\).

Ordre des négatifs :
\[ -\frac{2}{3} < -\frac{4}{21} < -\frac{1}{7}. \]

Étape 3 : Comparer les nombres positifs

Les nombres positifs sont \(\frac{1}{3}\), \(\frac{5}{42}\) et \(\frac{2}{7}\).

1. Convertissons-les en décimaux ou en fractions équivalentes.
   • \(\frac{1}{3} \approx 0{,}3333\).
     
   • \(\frac{5}{42}\) :
     \[ \frac{5}{42} \approx 0{,}1190. \]
   • \(\frac{2}{7} \approx 0{,}2857.\)
2. En ordre croissant, cela donne :
   \[ \frac{5}{42} \approx 0{,}1190 < \frac{2}{7} \approx 0{,}2857 < \frac{1}{3} \approx 0{,}3333. \]

Étape 4 : Rassembler le tout

En combinant les nombres négatifs et positifs, on obtient de plus petit au plus grand :

\[ -\frac{2}{3},\quad -\frac{4}{21},\quad -\frac{1}{7},\quad \frac{5}{42},\quad \frac{2}{7},\quad \frac{1}{3}. \]

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Réponses finales

1. En ordre croissant, on a :
   \[ -1{,}5,\quad -\frac{2}{5},\quad \frac{1}{2},\quad \frac{2}{3},\quad \frac{4}{5}. \]

2. En ordre croissant, on a :
   \[ -\frac{2}{3},\quad -\frac{4}{21},\quad -\frac{1}{7},\quad \frac{5}{42},\quad \frac{2}{7},\quad \frac{1}{3}. \]

Cette méthode permet de comparer correctement les fractions et nombres décimaux en vérifiant d’abord les signes puis en utilisant des conversions simples pour assurer que l’ordre est bien respecté.