Exercice
Trouver tous les nombres entiers \(n\) tels que \[ 100 \leq n^2 \leq 200. \]
Les entiers vérifiant 100 ≤ n² ≤ 200 sont : n = -14, -13, -12, -11, -10, 10, 11, 12, 13, 14.
Nous devons trouver tous les entiers \(n\) tels que : \[ 100 \leq n^2 \leq 200. \]
L’inégalité nous indique que le carré de \(n\) doit être compris entre 100 et 200.
Rappelons que \(n^2\) est le carré de \(n\) et qu’il est toujours positif (ou nul). On peut donc écrire : \[ 100 \leq n^2 \leq 200 \quad \Longrightarrow \quad \sqrt{100} \leq |n| \leq \sqrt{200}. \] Calculons ces racines : - \(\sqrt{100} = 10\), - \(\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2}\).
On sait que \(10\sqrt{2}\) est environ égal à \(10 \times 1,414 = 14,14\).
D’où : \[ 10 \leq |n| \leq 14,14. \]
Puisque \(n\) est un entier, \(|n|\) doit être un entier compris entre 10 et 14 inclus. Ainsi, les valeurs possibles pour \(|n|\) sont : \[ 10, \; 11, \; 12, \; 13, \; 14. \]
Pour chaque valeur de \(|n|\), il y a deux solutions possibles pour \(n\) (une positive et une négative). On a donc :
\[ n = -14, -13, -12, -11, -10, 10, 11, 12, 13, 14. \]
Chaque nombre de cette liste vérifie bien \(100 \leq n^2 \leq 200\). Par exemple : - Pour \(n = 10\), \(10^2 = 100\). - Pour \(n = 14\), \(14^2 = 196\).
Tous les autres nombres donnés satisferont l’inégalité de la même manière.
Les nombres entiers \(n\) tels que \[ 100 \leq n^2 \leq 200 \] sont : \[ n = -14, \; -13, \; -12, \; -11, \; -10, \; 10, \; 11, \; 12, \; 13, \; 14. \]