Exercice 33

Exercice 1 – Calculs sur nombres entiers

Calculer :
a) \((-8) \cdot (-50) =\)
b) \((-23) + 17 =\)
c) \(15 \cdot (-10) =\)
d) \((-72) : 8 =\)
e) \((-45) - (-25) =\)
f) \(20 - (-20) =\)
g) \((-240) : (-30) =\)
h) \((-31) - 31 =\)
i) \(-5^2 - (-5)^2 =\)
j) \(84 : (-7) =\)
k) \((-7) \cdot 6 =\)
l) \((-150) - 2 =\)

Exercice 2 – Autres calculs

Calculer :
a) \((-54) + (-7) =\)
b) \((-54) - (-7) =\)
c) \((-54) : (-6) =\)
d) \(-54 - 7 =\)
e) \((-3)^3 =\)
f) \(-8^2 =\)
g) \(-87,5 - 3,5 \cdot (-14) =\)

Exercice 3 – Produits égaux à 16

Trouve tous les couples de nombres entiers relatifs dont le produit est égal à \(16\).

Exercice 4 – Quotient négatif

Trouve deux nombres, de signes opposés, dont le quotient est négatif.

Exercice 5 – Calculs avec nombres décimaux

Calculer :
a) \((-4,8) - (+7) =\)
b) \((+12) - (-8,3) =\)
c) \((-10) - (+0,5) =\)
d) \((-3) - (+5,2) =\)
e) \((-4,5) - (+6,5) =\)
f) \((+7,3) - (-2,4) =\)
g) \((-5,6) - (+8,2) =\)
h) \((+10,7) - (-11,3) =\)

Réponse

Exercice 1 – Nombres entiers :
a) 400 b) –6 c) –150 d) –9 e) –20 f) 40 g) 8 h) –62 i) –50 j) –12 k) –42 l) –152

Exercice 2 – Autres calculs :
a) –61 b) –47 c) 9 d) –61 e) –27 f) –64 g) –38,5

Exercice 3 – Couples pour 16 :
(1,16), (2,8), (4,4) ainsi que leurs opposés (–1,–16), (–2,–8), (–4,–4) (l’ordre pouvant varier)

Exercice 4 – Quotient négatif :
Exemple : –15 ÷ 3 = –5

Exercice 5 – Nombres décimaux :
a) –11,8 b) 20,3 c) –10,5 d) –8,2 e) –11 f) 9,7 g) –13,8 h) 22

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque exercice.

Exercice 1 – Calculs sur nombres entiers

a) Calcul de \((-8) \cdot (-50)\)

Étape 1 : Le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif.
Étape 2 : On calcule \(8 \cdot 50 = 400\).

\[ (-8) \cdot (-50) = 400 \]

b) Calcul de \((-23) + 17\)

Étape 1 : Ajouter 17 à -23 revient à “remonter” de 17 sur la droite des négatifs.
Étape 2 : \(23 - 17 = 6\) et le résultat garde le signe négatif.

\[ (-23) + 17 = -6 \]

c) Calcul de \(15 \cdot (-10)\)

Étape 1 : Le produit d’un nombre positif par un nombre négatif est négatif.
Étape 2 : \(15 \cdot 10 = 150\).

\[ 15 \cdot (-10) = -150 \]

d) Calcul de \((-72) : 8\)

Étape 1 : Diviser un nombre négatif par un nombre positif donne un résultat négatif.
Étape 2 : \(72 \div 8 = 9\).

\[ (-72) : 8 = -9 \]

e) Calcul de \((-45) - (-25)\)

Étape 1 : Soustraire un nombre négatif équivaut à ajouter son opposé.
Étape 2 : \(-45 - (-25) = -45 + 25\).
Étape 3 : \(45 - 25 = 20\) avec le signe négatif.

\[ (-45) - (-25) = -20 \]

f) Calcul de \(20 - (-20)\)

Étape 1 : Soustraire -20 revient à ajouter 20.
Étape 2 : \(20 + 20 = 40\).

\[ 20 - (-20) = 40 \]

g) Calcul de \((-240) : (-30)\)

Étape 1 : Le quotient de deux nombres négatifs donne un nombre positif.
Étape 2 : Diviser \(240\) par \(30\) donne \(8\).

\[ (-240) : (-30) = 8 \]

h) Calcul de \((-31) - 31\)

Étape 1 : \(-31 - 31\) signifie additionner deux nombres négatifs.
Étape 2 : \(31 + 31 = 62\) et le résultat est négatif.

\[ (-31) - 31 = -62 \]

i) Calcul de \(-5^2 - (-5)^2\)

Étape 1 : Attention à la notation :
- \(-5^2\) signifie \(- (5^2)\). On calcule d’abord \(5^2 = 25\) puis on applique le signe : \(-25\).
- \((-5)^2\) signifie que \(-5\) est au carré, donnant \(25\) (car \(-5 \times -5 = 25\)).
Étape 2 : On a donc :

\[ -5^2 - (-5)^2 = -25 - 25 = -50 \]

j) Calcul de \(84 : (-7)\)

Étape 1 : Diviser un nombre positif par un nombre négatif donne un résultat négatif.
Étape 2 : \(84 \div 7 = 12\).

\[ 84 : (-7) = -12 \]

k) Calcul de \((-7) \cdot 6\)

Étape 1 : Le produit d’un nombre négatif par un nombre positif est négatif.
Étape 2 : \(7 \cdot 6 = 42\).

\[ (-7) \cdot 6 = -42 \]

l) Calcul de \((-150) - 2\)

Étape 1 : On soustrait 2 du nombre -150, ce qui donne un nombre qui devient encore plus négatif.
Étape 2 : \(-150 - 2 = -152\).

\[ (-150) - 2 = -152 \]

Exercice 2 – Autres calculs

a) Calcul de \((-54) + (-7)\)

Étape 1 : Additionner deux nombres négatifs donne un nombre négatif.
Étape 2 : \(54 + 7 = 61\).

\[ (-54) + (-7) = -61 \]

b) Calcul de \((-54) - (-7)\)

Étape 1 : Soustraire -7 revient à ajouter 7.
Étape 2 : \(-54 + 7 = -47\).

\[ (-54) - (-7) = -47 \]

c) Calcul de \((-54) : (-6)\)

Étape 1 : Le quotient de deux nombres négatifs est positif.
Étape 2 : \(54 \div 6 = 9\).

\[ (-54) : (-6) = 9 \]

d) Calcul de \(-54 - 7\)

Étape 1 : Additionner deux nombres négatifs.
Étape 2 : \(54 + 7 = 61\) avec un signe négatif.

\[ -54 - 7 = -61 \]

e) Calcul de \((-3)^3\)

Étape 1 : \((-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3)\).
Étape 2 : On calcule :
- \((-3) \times (-3) = 9\)
- \(9 \times (-3) = -27\)

\[ (-3)^3 = -27 \]

f) Calcul de \(-8^2\)

Étape 1 : La notation \(-8^2\) signifie que l’exposant s’applique uniquement à 8, puis on applique le signe négatif :
- \(8^2 = 64\)
Étape 2 : On applique le signe négatif : \(-64\).

\[ -8^2 = -64 \]

g) Calcul de \(-87,5 - 3,5 \cdot (-14)\)

Étape 1 : Calculer d’abord \(3,5 \cdot (-14)\) :
- \(3,5 \times 14 = 49\). Comme un nombre positif multiplié par un négatif donne un négatif, on a : \(-49\).
Étape 2 : Ensuite, \(-87,5 - (-49)\) devient \(-87,5 + 49\).
Étape 3 : Calculer la somme : \(87,5 - 49 = 38,5\) avec le signe négatif.

\[ -87,5 - 3,5 \cdot (-14) = -38,5 \]

Exercice 3 – Produits égaux à 16

Nous cherchons tous les couples \((a, b)\) d’entiers relatifs tels que :

\[ a \times b = 16 \]

Étape 1 : Identifier les diviseurs positifs de 16 :
- \(1 \times 16 = 16\)
- \(2 \times 8 = 16\)
- \(4 \times 4 = 16\)

Étape 2 : Pour chaque couple positif, l’équivalent négatif est obtenu en prenant les deux nombres négatifs :
- \((-1) \times (-16) = 16\)
- \((-2) \times (-8) = 16\)
- \((-4) \times (-4) = 16\)

Remarque : Si l’ordre compte, les couples suivants sont aussi valables :

\((16, 1)\), \((8, 2)\), \((4, 4)\), \((-16, -1)\), \((-8, -2)\).

Liste complète des couples (en considérant l’ordre) :

\((1, 16)\)
\((16, 1)\)
\((2, 8)\)
\((8, 2)\)
\((4, 4)\)
\((-1, -16)\)
\((-16, -1)\)
\((-2, -8)\)
\((-8, -2)\)
\((-4, -4)\)

Exercice 4 – Quotient négatif

Nous devons trouver deux nombres de signes opposés dont le quotient est négatif.

Exemple :
- Choisissons \(a = -15\) et \(b = 3\).
- Le quotient \(\frac{-15}{3} = -5\) est négatif.

Il existe de nombreux exemples possibles, l’important est de choisir un nombre positif et un nombre négatif.

Exercice 5 – Calculs avec nombres décimaux

a) Calcul de \((-4,8) - (+7)\)

Étape 1 : Effectuer la soustraction :
\(-4,8 - 7 = -11,8\)

\[ (-4,8) - (+7) = -11,8 \]

b) Calcul de \((+12) - (-8,3)\)

Étape 1 : Soustraire un nombre négatif équivaut à ajouter sa valeur positive :
\(12 + 8,3 = 20,3\).

\[ (+12) - (-8,3) = 20,3 \]

c) Calcul de \((-10) - (+0,5)\)

Étape 1 : Soustraire 0,5 à -10 signifie rendre le résultat encore plus négatif :
\(-10 - 0,5 = -10,5\).

\[ (-10) - (+0,5) = -10,5 \]

d) Calcul de \((-3) - (+5,2)\)

Étape 1 : Additionner deux nombres négatifs :
\(-3 - 5,2 = -8,2\).

\[ (-3) - (+5,2) = -8,2 \]

e) Calcul de \((-4,5) - (+6,5)\)

Étape 1 : On effectue la soustraction :
\(-4,5 - 6,5 = -11\).

\[ (-4,5) - (+6,5) = -11 \]

f) Calcul de \((+7,3) - (-2,4)\)

Étape 1 : Soustraire -2,4 revient à ajouter 2,4 :
\(7,3 + 2,4 = 9,7\).

\[ (+7,3) - (-2,4) = 9,7 \]

g) Calcul de \((-5,6) - (+8,2)\)

Étape 1 : On soustrait 8,2 à -5,6 :
\(-5,6 - 8,2 = -13,8\).

\[ (-5,6) - (+8,2) = -13,8 \]

h) Calcul de \((+10,7) - (-11,3)\)

Étape 1 : Soustraire -11,3 équivaut à ajouter 11,3 :
\(10,7 + 11,3 = 22\).

\[ (+10,7) - (-11,3) = 22 \]

Ainsi, nous avons réalisé tous les calculs en détaillant chaque étape du raisonnement.