Exercice 15

Trouve deux nombres entiers relatifs \(a\) et \(b\) qui vérifient les conditions suivantes :

• \(a + b = -6\)
  
• \(a < b\)
  
• \(a\) et \(b\) sont de même signe.

• \(a + b = -6\)
  
• \(a > b\)
  
• \(a\) et \(b\) sont de signes différents.

• \(a + b = 8\)
  
• L’un des deux nombres est nul.

• \(a + b = 8\)
  
• \(a > b\)
  
• \(a\) et \(b\) sont de même signe.

Réponse

1. a = -4 et b = -2
   
2. a = 1 et b = -7
   
3. a = 8 et b = 0
   
4. a = 5 et b = 3

Corrigé détaillé

Nous allons examiner chaque question une par une en détaillant la démarche de résolution.

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Partie a)

Énoncé :
Trouver deux entiers relatifs \(a\) et \(b\) tels que
- \(a + b = -6\)
- \(a < b\)
- \(a\) et \(b\) sont de même signe.

Raisonnement :

1. Somme négative et même signe :
   La somme \(a+b = -6\) est négative.
   Si deux nombres sont de même signe et que leur somme est négative, alors ils doivent être tous les deux négatifs.

2. Ordre des nombres (\(a < b\)) :
   Étant donné que \(a\) et \(b\) sont négatifs, l’inégalité \(a < b\) signifie que le nombre \(a\) est « plus petit » (c’est-à-dire plus éloigné de zéro) que \(b\). Par exemple, \(-4 < -2\) car \(-4\) est plus négatif que \(-2\).

3. Recherche d’un couple possible :
   On cherche donc deux entiers négatifs dont la somme est \(-6\) et où le premier est strictement inférieur au second.

   • Essayons \(a = -4\) et \(b = -2\).
     Vérifions :
     \[ a+b = -4 + (-2) = -6 \quad \text{et} \quad -4 < -2. \] Les conditions sont toutes vérifiées.

Conclusion pour a) :
On peut choisir
\[ a = -4,\quad b = -2. \]

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Partie b)

Énoncé :
Trouver deux entiers relatifs \(a\) et \(b\) tels que
- \(a + b = -6\)
- \(a > b\)
- \(a\) et \(b\) sont de signes différents.

Raisonnement :

1. Signes différents :
   Si \(a\) et \(b\) sont de signes différents, l’un est positif et l’autre négatif.

2. Somme négative :
   La somme \(-6\) étant négative, le nombre négatif doit avoir une valeur absolue plus grande que celle du positif.
   De plus, la condition \(a > b\) nous aide à décider quel nombre sera positif et lequel sera négatif.

3. Détermination des rôles :
   Pour que \(a > b\) et que l’un soit positif et l’autre négatif, il est logique de prendre \(a\) comme le positif et \(b\) comme le négatif.
   On a donc : \[ a + b = -6 \quad \text{avec } a > 0 \text{ et } b < 0. \]

4. Recherche d’un couple :
   Supposons \(a = 1\).
   Alors, \[ 1 + b = -6 \quad\Rightarrow\quad b = -6 - 1 = -7. \] Vérifions :

   • \(a+b = 1 + (-7) = -6\)
     
   • \(a > b\) car \(1 > -7\)
     
   • Les signes sont différents : \(a\) positif et \(b\) négatif.

Conclusion pour b) :
On peut choisir
\[ a = 1,\quad b = -7. \]

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Partie c)

Énoncé :
Trouver deux entiers relatifs \(a\) et \(b\) tels que
- \(a + b = 8\)
- L’un des deux nombres est nul.

Raisonnement :

1. Un nombre est nul :
   Supposons que \(b = 0\). (On aurait aussi pu poser \(a = 0\) sans perte de généralité.)

2. Calcul de l’autre nombre :
   En remplaçant dans l’équation : \[ a + 0 = 8 \quad\Rightarrow\quad a = 8. \] Ainsi, le couple devient : \[ a = 8,\quad b = 0. \]

3. Vérification :

   • \(a+b = 8+0 = 8\).
     
   • L’un des nombres (ici \(b\)) est nul.

Conclusion pour c) :
On peut choisir
\[ a = 8,\quad b = 0. \]

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Partie d)

Énoncé :
Trouver deux entiers relatifs \(a\) et \(b\) tels que
- \(a + b = 8\)
- \(a > b\)
- \(a\) et \(b\) sont de même signe.

Raisonnement :

1. Somme positive et même signe :
   Puisque \(a+b = 8\) est positif et que \(a\) et \(b\) ont le même signe, ils doivent être tous les deux positifs. (Ils pourraient tous deux être négatifs, mais leur somme serait alors négative.)

2. Ordre des nombres (\(a > b\)) :
   On doit choisir \(a\) plus grand que \(b\) parmi les entiers positifs qui, ensemble, font 8.

3. Recherche d’un couple possible :
   On peut essayer \(a = 5\) et \(b = 3\).
   Vérifions :
   \[ a+b = 5+3 = 8 \quad\text{et}\quad 5 > 3. \] Les conditions sont vérifiées et les deux nombres sont positifs.

Conclusion pour d) :
On peut choisir
\[ a = 5,\quad b = 3. \]

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Récapitulatif des réponses

• a) \(a = -4\) et \(b = -2\)
• b) \(a = 1\) et \(b = -7\)
• c) \(a = 8\) et \(b = 0\)
• d) \(a = 5\) et \(b = 3\)