Exercice 7

Exercice

Un spéléologue pénètre dans une grotte par son entrée. Il descend de \(24\,\mathrm{m}\), remonte de \(11\,\mathrm{m}\), redescend de \(30\,\mathrm{m}\) puis remonte de \(16\,\mathrm{m}\).

Déterminez sa profondeur par rapport à l’entrée de la grotte et son altitude dans les situations suivantes :

1. À la Mer du Nord.
   
2. Dans la plaine de la Beauce (altitude \(-50\,\mathrm{m}\)).
   
3. Dans le Massif Central (altitude \(600\,\mathrm{m}\)).

Réponse

Le spéléologue se trouve 27 m en dessous de l’entrée, ce qui donne une altitude de :
– –27 m si l’entrée est à 0 m (Mer du Nord),
– –77 m si l’entrée est à –50 m (plaine de la Beauce),
– 573 m si l’entrée est à 600 m (Massif Central).

Corrigé détaillé

Nous allons déterminer la position finale du spéléologue par rapport à l’entrée en suivant chacune de ses déplacements, puis calculer son altitude réelle en fonction de l’altitude de l’entrée dans chaque situation.

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Étape 1 : Calcul de la profondeur relative à l’entrée

1. Début
   Le spéléologue part de l’entrée. On note la position initiale \(0\,\mathrm{m}\).

2. Premier déplacement : il descend de \(24\,\mathrm{m}\)
   \[ 0 - 24 = -24\,\mathrm{m} \] Sa position est \(-24\,\mathrm{m}\) (24 mètres en dessous de l’entrée).

3. Deuxième déplacement : il remonte de \(11\,\mathrm{m}\)
   \[ -24 + 11 = -13\,\mathrm{m} \] Sa nouvelle position est \(-13\,\mathrm{m}\).

4. Troisième déplacement : il redescend de \(30\,\mathrm{m}\)
   \[ -13 - 30 = -43\,\mathrm{m} \] On obtient ainsi \(-43\,\mathrm{m}\).

5. Quatrième déplacement : il remonte de \(16\,\mathrm{m}\)
   \[ -43 + 16 = -27\,\mathrm{m} \] La position finale du spéléologue est \(-27\,\mathrm{m}\) par rapport à l’entrée.

Conclusion de l’étape 1 :
Sa profondeur relative à l’entrée est de \(27\,\mathrm{m}\) en dessous (position de \(-27\,\mathrm{m}\)).

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Étape 2 : Calcul de son altitude réelle dans chaque situation

Pour obtenir l’altitude réelle, on ajoute la profondeur relative à l’altitude de l’entrée dans chaque contexte.

a) À la Mer du Nord

Supposons que l’entrée de la grotte se trouve au niveau de référence \(0\,\mathrm{m}\) (niveau de la Mer du Nord).
Calcul de l’altitude du spéléologue : \[ 0\,\mathrm{m} + (-27\,\mathrm{m}) = -27\,\mathrm{m} \] Altitude réelle : \(-27\,\mathrm{m}\)

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b) Dans la plaine de la Beauce (altitude \(-50\,\mathrm{m}\))

Ici, l’entrée se trouve à \(-50\,\mathrm{m}\).
Calcul de l’altitude du spéléologue : \[ -50\,\mathrm{m} + (-27\,\mathrm{m}) = -77\,\mathrm{m} \] Altitude réelle : \(-77\,\mathrm{m}\)

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c) Dans le Massif Central (altitude \(600\,\mathrm{m}\))

Dans ce cas, l’entrée est située à \(600\,\mathrm{m}\).
Calcul de l’altitude du spéléologue : \[ 600\,\mathrm{m} + (-27\,\mathrm{m}) = 573\,\mathrm{m} \] Altitude réelle : \(573\,\mathrm{m}\)

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Conclusion Finale

• Profondeur par rapport à l’entrée : \(-27\,\mathrm{m}\)
  
• Altitude du spéléologue :
  • À la Mer du Nord : \(-27\,\mathrm{m}\)
  • Dans la plaine de la Beauce : \(-77\,\mathrm{m}\)
  • Dans le Massif Central : \(573\,\mathrm{m}\)

Cette démarche permet de comprendre étape par étape comment obtenir la position finale par rapport à un repère de départ et comment adapter cette position pour différentes altitudes de l’entrée.