Exercice : Factorisation en nombres premiers
Factorisez chacun des entiers suivants sous la forme d’un produit de facteurs premiers :
Voici la correction détaillée de chacun des exercices de factorisation en nombres premiers.
Étape 1 : Recherche d’un diviseur
On remarque que : \[ 1225 = 35 \times 35 \] car le nombre 1225 est un carré parfait (le carré de 35).
Étape 2 : Factoriser 35
Le nombre 35 se factorise en nombres premiers de la manière suivante : \[ 35 = 5 \times 7 \]
Étape 3 : Expression finale
En remplaçant, on obtient : \[ 1225 = 35 \times 35 = (5 \times 7)(5 \times 7) = 5^2 \times 7^2 \]
Étape 1 : Diviser par 2 autant que possible
On commence par diviser \(11088\) par 2 : \[ 11088 \div 2 = 5544 \] Puis : \[ 5544 \div 2 = 2772 \] Ensuite : \[ 2772 \div 2 = 1386 \] Et encore : \[ 1386 \div 2 = 693 \] On a ainsi extrait le facteur 2 quatre fois, ce qui nous donne : \[ 11088 = 2^4 \times 693 \]
Étape 2 : Factoriser 693
Pour 693, on trouve : - La somme des chiffres de 693 est \(6+9+3=18\) ce qui montre qu’il est divisible par 3.
Divisons par 3 : \[ 693 \div 3 = 231 \] On divise encore par 3 : \[ 231 \div 3 = 77 \] Le nombre 77 se factorise en : \[ 77 = 7 \times 11 \]
Étape 3 : Expression finale
On peut donc écrire : \[ 693 = 3^2 \times 7 \times 11 \] Ainsi, la factorisation complète de \(11088\) est : \[ 11088 = 2^4 \times 3^2 \times 7 \times 11 \]
Étape 1 : Diviser par 2
Divisons \(1386\) par 2 : \[ 1386 \div 2 = 693 \] On récupère ainsi un facteur 2 : \[ 1386 = 2 \times 693 \]
Étape 2 : Utiliser la factorisation de 693
D’après la factorisation précédente, nous avons trouvé : \[ 693 = 3^2 \times 7 \times 11 \]
Étape 3 : Expression finale
En combinant les résultats, on obtient : \[ 1386 = 2 \times 3^2 \times 7 \times 11 \]
Étape 1 : Diviser par 3 de manière répétée
On commence par diviser \(891\) par 3 : \[ 891 \div 3 = 297 \] Puis, diviser \(297\) par 3 : \[ 297 \div 3 = 99 \] Ensuite, diviser \(99\) par 3 : \[ 99 \div 3 = 33 \] Et une dernière division par 3 : \[ 33 \div 3 = 11 \]
Étape 2 : Écrire la décomposition
On a extrait le facteur 3 quatre fois et il reste 11, premier. Ainsi, on obtient : \[ 891 = 3^4 \times 11 \]
Étape 1 : Diviser par 2
Divisons \(1250\) par 2 : \[ 1250 \div 2 = 625 \] On note que 625 est un carré parfait et se factorise en : \[ 625 = 25 \times 25 = (5 \times 5)(5 \times 5) = 5^4 \]
Étape 2 : Expression finale
En combinant, nous avons : \[ 1250 = 2 \times 625 = 2 \times 5^4 \]
Chaque étape a permis de décomposer les nombres en leurs facteurs premiers en identifiant les diviseurs successifs et en simplifiant progressivement les expressions. Cette méthode permet d’obtenir une écriture sous forme d’un produit de facteurs premiers de manière organisée et compréhensible.