Exercice
Décomposez chacun des entiers suivants en produit de facteurs premiers :
1500 = 2² × 3 × 5³
360 = 2³ × 3² × 5
800 = 2⁵ × 5²
88 = 2³ × 11
4920 = 2³ × 3 × 5 × 41
Nous allons décomposer chaque entier en ses facteurs premiers. Cela signifie que nous allons écrire l’entier sous la forme d’un produit de nombres premiers.
Étape 1 : Diviser par 2
\[ 1500 \div 2 = 750 \]
On a donc :
\[ 1500 = 2 \times 750 \]
Étape 2 : Diviser de nouveau par 2
\[ 750 \div 2 = 375 \]
Nous obtenons :
\[ 1500 = 2^2 \times 375 \]
Étape 3 : Diviser par 3
Le nombre \(375\) se divise par \(3\) :
\[ 375 \div 3 = 125 \]
D’où :
\[ 1500 = 2^2 \times 3 \times 125 \]
Étape 4 : Diviser par 5
On reconnaît que \(125 = 5 \times 25\) et \(25 = 5 \times 5\), ainsi :
\[ 125 = 5^3 \]
Conclusion pour \(1500\) :
\[ 1500 = 2^2 \times 3 \times 5^3 \]
Étape 1 : Diviser par 2 successivement
\[ 360 \div 2 = 180 \quad \Rightarrow \quad 360 = 2 \times 180 \] \[ 180 \div 2 = 90 \quad \Rightarrow \quad 360 = 2^2 \times 90 \] \[ 90 \div 2 = 45 \quad \Rightarrow \quad 360 = 2^3 \times 45 \]
Étape 2 : Diviser par 3
Voyons maintenant \(45\) :
\[ 45 \div 3 = 15 \quad \Rightarrow \quad 45 = 3 \times 15 \] \[ 15 \div 3 = 5 \quad \Rightarrow \quad 15 = 3 \times 5 \]
Conclusion pour \(360\) :
En remplaçant \(45\) par sa décomposition, on a :
\[ 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \]
Étape 1 : Diviser par 2 de manière répétée
\[ 800 \div 2 = 400 \quad \Rightarrow \quad 800 = 2 \times 400 \] \[ 400 \div 2 = 200 \quad \Rightarrow \quad 800 = 2^2 \times 200 \] \[ 200 \div 2 = 100 \quad \Rightarrow \quad 800 = 2^3 \times 100 \] \[ 100 \div 2 = 50 \quad \Rightarrow \quad 800 = 2^4 \times 50 \] \[ 50 \div 2 = 25 \quad \Rightarrow \quad 800 = 2^5 \times 25 \]
Étape 2 : Diviser par 5
Le nombre \(25\) se décompose facilement :
\[ 25 = 5 \times 5 = 5^2 \]
Conclusion pour \(800\) :
\[ 800 = 2^5 \times 5^2 \]
Étape 1 : Diviser par 2
\[ 88 \div 2 = 44 \quad \Rightarrow \quad 88 = 2 \times 44 \]
Étape 2 : Diviser par 2 de nouveau
\[ 44 \div 2 = 22 \quad \Rightarrow \quad 88 = 2^2 \times 22 \]
Étape 3 : Diviser par 2 encore
\[ 22 \div 2 = 11 \quad \Rightarrow \quad 88 = 2^3 \times 11 \]
Le nombre \(11\) est premier.
Conclusion pour \(88\) :
\[ 88 = 2^3 \times 11 \]
Étape 1 : Diviser par 2 successivement
\[ 4920 \div 2 = 2460 \quad \Rightarrow \quad 4920 = 2 \times 2460 \] \[ 2460 \div 2 = 1230 \quad \Rightarrow \quad 4920 = 2^2 \times 1230 \] \[ 1230 \div 2 = 615 \quad \Rightarrow \quad 4920 = 2^3 \times 615 \]
Étape 2 : Diviser par 3
Le nombre \(615\) se divise par \(3\) :
\[ 615 \div 3 = 205 \quad \Rightarrow \quad 615 = 3 \times 205 \]
Étape 3 : Diviser par 5
Le nombre \(205\) se divise par \(5\) :
\[ 205 \div 5 = 41 \quad \Rightarrow \quad 205 = 5 \times 41 \]
Le nombre \(41\) est premier.
Conclusion pour \(4920\) :
\[ 4920 = 2^3 \times 3 \times 5 \times 41 \]
\(\displaystyle 1500 = 2^2 \times 3 \times 5^3\)
\(\displaystyle 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)
\(\displaystyle 800 = 2^5 \times 5^2\)
\(\displaystyle 88 = 2^3 \times 11\)
\(\displaystyle 4920 = 2^3 \times 3 \times 5 \times 41\)
Chaque étape a consisté à diviser l’entier par le plus petit diviseur premier possible jusqu’à obtenir un quotient qui ne peut plus être décomposé (en étant un nombre premier). Cette méthode garantit que nous obtenons la décomposition complète en facteurs premiers.