Exercice 13

Exercice : Décomposition en facteurs premiers

Décomposer chacun des nombres suivants en produit de facteurs premiers :

1. \(80\)
   
2. \(56\)
   
3. \(54\)
   
4. \(33\)
   
5. \(63\)
   
6. \(38\)
   
7. \(15\)

Réponse

80 = 2^4 × 5
56 = 2^3 × 7
54 = 2 × 3^3
33 = 3 × 11
63 = 3^2 × 7
38 = 2 × 19
15 = 3 × 5

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice de décomposition en facteurs premiers.

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1) Décomposer \(80\)

Nous cherchons à écrire \(80\) comme produit de nombres premiers.

1. On remarque que \(80\) est pair, donc divisible par \(2\) : \[ 80 \div 2 = 40 \quad \Rightarrow \quad 80 = 2 \times 40 \]
2. \(40\) est toujours pair : \[ 40 \div 2 = 20 \quad \Rightarrow \quad 40 = 2 \times 20 \] Ainsi, \(80 = 2 \times 2 \times 20\).
3. \(20\) est encore pair : \[ 20 \div 2 = 10 \quad \Rightarrow \quad 20 = 2 \times 10 \] D’où, \(80 = 2 \times 2 \times 2 \times 10\).
4. \(10\) est pair : \[ 10 \div 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad 10 = 2 \times 5 \] Finalement, \(80 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5\).

En notation avec exposant : \[ 80 = 2^4 \times 5 \]

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2) Décomposer \(56\)

1. \(56\) est pair : \[ 56 \div 2 = 28 \quad \Rightarrow \quad 56 = 2 \times 28 \]
2. \(28\) est pair : \[ 28 \div 2 = 14 \quad \Rightarrow \quad 28 = 2 \times 14 \] D’où, \(56 = 2 \times 2 \times 14\).
3. \(14\) est pair : \[ 14 \div 2 = 7 \quad \Rightarrow \quad 14 = 2 \times 7 \] Alors, \(56 = 2 \times 2 \times 2 \times 7\).

En notation avec exposant : \[ 56 = 2^3 \times 7 \]

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3) Décomposer \(54\)

1. \(54\) est pair (divisible par \(2\)) : \[ 54 \div 2 = 27 \quad \Rightarrow \quad 54 = 2 \times 27 \]
2. \(27\) est impair, on reconnaît qu’il se décompose en \(3\) : \[ 27 \div 3 = 9 \quad \Rightarrow \quad 27 = 3 \times 9 \]
3. \(9\) se décompose également en \(3\) : \[ 9 \div 3 = 3 \quad \Rightarrow \quad 9 = 3 \times 3 \] Donc, \[ 27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 \]

Ainsi, la décomposition complète est : \[ 54 = 2 \times 3^3 \]

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4) Décomposer \(33\)

1. \(33\) est impair et on remarque que la somme de ses chiffres est \(3+3=6\) (divisible par \(3\)). On divise donc par \(3\) : \[ 33 \div 3 = 11 \quad \Rightarrow \quad 33 = 3 \times 11 \]
2. \(11\) est un nombre premier.

Donc, la décomposition est : \[ 33 = 3 \times 11 \]

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5) Décomposer \(63\)

1. La somme des chiffres de \(63\) est \(6+3=9\), qui est divisible par \(3\), donc \(63\) est divisible par \(3\) : \[ 63 \div 3 = 21 \quad \Rightarrow \quad 63 = 3 \times 21 \]
2. \(21\) se décompose en \(3 \times 7\) car \(21 \div 3 = 7\) : \[ 21 = 3 \times 7 \] Ainsi, \[ 63 = 3 \times 3 \times 7 = 3^2 \times 7 \]

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6) Décomposer \(38\)

1. \(38\) est pair, donc divisible par \(2\) : \[ 38 \div 2 = 19 \quad \Rightarrow \quad 38 = 2 \times 19 \]
2. \(19\) est un nombre premier.

La décomposition est : \[ 38 = 2 \times 19 \]

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7) Décomposer \(15\)

1. \(15\) est impair. On cherche deux nombres premiers dont le produit donne \(15\). La somme des chiffres est \(1+5=6\), ce qui indique que \(15\) est divisible par \(3\) : \[ 15 \div 3 = 5 \quad \Rightarrow \quad 15 = 3 \times 5 \]
2. \(5\) est également un nombre premier.

La décomposition est donc : \[ 15 = 3 \times 5 \]

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Récapitulatif des décompositions :

1. \(\displaystyle 80 = 2^4 \times 5\)
   
2. \(\displaystyle 56 = 2^3 \times 7\)
   
3. \(\displaystyle 54 = 2 \times 3^3\)
   
4. \(\displaystyle 33 = 3 \times 11\)
   
5. \(\displaystyle 63 = 3^2 \times 7\)
   
6. \(\displaystyle 38 = 2 \times 19\)
   
7. \(\displaystyle 15 = 3 \times 5\)

Chaque nombre a été décomposé en un produit de facteurs premiers à l’aide de divisions successives et de remarques sur les divisibilités. Cette méthode permet de décomposer n’importe quel nombre entier positif en ses facteurs premiers de manière claire et ordonnée.