Exercice 12

Exercice

Décomposez en produit de facteurs premiers les nombres suivants :

\(42\)
\(36\)
\(60\)
\(32\)
\(28\)
\(12\)
\(20\)

Réponse

42 = 2 × 3 × 7
36 = 2² × 3²
60 = 2² × 3 × 5
32 = 2⁵
28 = 2² × 7
12 = 2² × 3
20 = 2² × 5

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour décomposer chacun des nombres en produit de facteurs premiers.

1. Décomposition de \(42\)

Étape 1 : Cherchons le plus petit diviseur premier.
\(42\) est pair, donc divisible par \(2\) :
\[ 42 = 2 \times 21 \]

Étape 2 : Décomposons \(21\).
\(21\) se divise par \(3\) (car \(2+1 = 3\) qui est divisible par \(3\)) :
\[ 21 = 3 \times 7 \]

Conclusion :
La décomposition en produits de facteurs premiers de \(42\) est :
\[ 42 = 2 \times 3 \times 7 \]

2. Décomposition de \(36\)

Étape 1 : \(36\) est pair, donc divisible par \(2\) :
\[ 36 = 2 \times 18 \]

Étape 2 : Décomposons \(18\) qui est encore pair :
\[ 18 = 2 \times 9 \]

Étape 3 : Décomposons \(9\).
\(9\) se décompose en :
\[ 9 = 3 \times 3 \]

Conclusion :
La décomposition en produits de facteurs premiers de \(36\) est :
\[ 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2 \]

3. Décomposition de \(60\)

Étape 1 : \(60\) est pair, donc divisible par \(2\) :
\[ 60 = 2 \times 30 \]

Étape 2 : Décomposons \(30\) qui est encore pair :
\[ 30 = 2 \times 15 \]

Étape 3 : Décomposons \(15\).
\(15\) se décompose en :
\[ 15 = 3 \times 5 \]

Conclusion :
La décomposition en produits de facteurs premiers de \(60\) est :
\[ 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \]

4. Décomposition de \(32\)

Étape 1 : \(32\) est un nombre pair. On divise par \(2\) à plusieurs reprises :
\[ 32 = 2 \times 16 \]

Étape 2 : Décomposons \(16\) :
\[ 16 = 2 \times 8 \]

Étape 3 : Décomposons \(8\) :
\[ 8 = 2 \times 4 \]

Étape 4 : Décomposons \(4\) :
\[ 4 = 2 \times 2 \]

Conclusion :
En regroupant tous les \(2\) :
\[ 32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 \]

5. Décomposition de \(28\)

Étape 1 : \(28\) est pair, donc divisible par \(2\) :
\[ 28 = 2 \times 14 \]

Étape 2 : \(14\) est encore pair :
\[ 14 = 2 \times 7 \]

Conclusion :
La décomposition en produits de facteurs premiers de \(28\) est :
\[ 28 = 2 \times 2 \times 7 = 2^2 \times 7 \]

6. Décomposition de \(12\)

Étape 1 : \(12\) est pair, donc divisible par \(2\) :
\[ 12 = 2 \times 6 \]

Étape 2 : Décomposons \(6\) qui est pair :
\[ 6 = 2 \times 3 \]

Conclusion :
La décomposition en produits de facteurs premiers de \(12\) est :
\[ 12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3 \]

7. Décomposition de \(20\)

Étape 1 : \(20\) est pair, donc divisible par \(2\) :
\[ 20 = 2 \times 10 \]

Étape 2 : Décomposons \(10\) qui est pair également :
\[ 10 = 2 \times 5 \]

Conclusion :
La décomposition en produits de facteurs premiers de \(20\) est :
\[ 20 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5 \]

Chaque nombre a été décomposé en multipliant ses diviseurs premiers. Cette méthode étape par étape permet de vérifier que nous avons bien tous les facteurs premiers pour chacun des nombres donnés.