Exercice 11

Exercice : Décomposition en facteurs premiers

Décomposez chacun des nombres suivants en produit de facteurs premiers :

1. \(6\)
   
2. \(18\)
   
3. \(30\)
   
4. \(24\)
   
5. \(44\)
   
6. \(8\)
   
7. \(34\)

Réponse

Réponses : 6 = 2 × 3
18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5
24 = 2³ × 3
44 = 2² × 11
8 = 2³
34 = 2 × 17

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour décomposer chacun des nombres en produit de facteurs premiers.

---

1) Décomposition de \(6\)

1. On cherche les diviseurs premiers de \(6\).
   
2. On remarque que \(6\) est pair, donc divisible par \(2\).
   \[ 6 \div 2 = 3 \]
3. Le résultat \(3\) est un nombre premier.
   
4. Ainsi, la décomposition est :
   \[ 6 = 2 \times 3 \]

---

2) Décomposition de \(18\)

1. On note que \(18\) est pair, donc divisible par \(2\).
   \[ 18 \div 2 = 9 \]
2. Le nombre \(9\) n’est pas premier, car \(9 = 3 \times 3\).
   
3. On écrit donc :
   \[ 18 = 2 \times 9 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^2 \]

---

3) Décomposition de \(30\)

1. Le nombre \(30\) est pair, il est donc divisible par \(2\).
   \[ 30 \div 2 = 15 \]
2. On décompose \(15\) qui se divise par \(3\) car \(15 \div 3 = 5\).
   
3. Les nombres \(3\) et \(5\) sont premiers.
   
4. La décomposition est donc :
   \[ 30 = 2 \times 3 \times 5 \]

---

4) Décomposition de \(24\)

1. \(24\) est pair, on le divise par \(2\) :
   \[ 24 \div 2 = 12 \]
2. \(12\) est encore pair :
   \[ 12 \div 2 = 6 \]
3. \(6\) est aussi pair :
   \[ 6 \div 2 = 3 \]
4. Le résultat \(3\) est un nombre premier.
   
5. En regroupant les diviseurs, on a utilisé trois fois le \(2\) et un \(3\) :
   \[ 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \]

---

5) Décomposition de \(44\)

1. \(44\) est pair, donc divisible par \(2\) :
   \[ 44 \div 2 = 22 \]
2. \(22\) est aussi pair :
   \[ 22 \div 2 = 11 \]
3. \(11\) est un nombre premier.
   
4. La décomposition finale est :
   \[ 44 = 2 \times 2 \times 11 = 2^2 \times 11 \]

---

6) Décomposition de \(8\)

1. \(8\) est pair, donc divisible par \(2\) :
   \[ 8 \div 2 = 4 \]
2. \(4\) est encore pair :
   \[ 4 \div 2 = 2 \]
3. Le résultat \(2\) est un nombre premier.
   
4. Ainsi, on écrit :
   \[ 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \]

---

7) Décomposition de \(34\)

1. \(34\) est pair, il est donc divisible par \(2\) :
   \[ 34 \div 2 = 17 \]
2. Le nombre \(17\) est un nombre premier.
   
3. La décomposition est donc :
   \[ 34 = 2 \times 17 \]

---

Chaque étape consiste à diviser par un nombre premier dès que le nombre est pair ou reconnaissable par un diviseur premier, puis à répéter l’opération avec le quotient obtenu jusqu’à obtenir uniquement des nombres premiers. Cela permet de trouver la décomposition en produit de facteurs premiers pour chaque nombre.