Exercice 10

Exercice :

Parmi les nombres suivants, identifiez ceux qui sont premiers :

1. \(99\)
2. \(27\)
3. \(56\)
4. \(19\)
5. \(12\)
6. \(29\)
7. \(31\)

Réponse

Les nombres premiers sont 19, 29 et 31.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Énoncé
Parmi les nombres suivants, identifiez ceux qui sont premiers :
1. \(99\)
2. \(27\)
3. \(56\)
4. \(19\)
5. \(12\)
6. \(29\)
7. \(31\)

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Définition d’un nombre premier :
Un nombre premier est un entier positif supérieur à 1 qui n’admet que deux diviseurs : \(1\) et lui-même.

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Étude de chaque nombre :

1. \(99\)
   • Analyse :
     Vérifions si \(99\) est divisible par des nombres autres que \(1\) et \(99\).
     On remarque que la somme des chiffres de \(99\) est \(9 + 9 = 18\), et comme \(18\) est divisible par \(3\), alors \(99\) l’est aussi.
     
   • Calcul :
     \[ 99 \div 3 = 33 \]
   • Conclusion :
     \(\Rightarrow\) Puisque \(99\) est divisible par \(3\) (et donc par \(33\)), ce nombre n’a pas exactement deux diviseurs.
     \(99\) n’est pas premier.
2. \(27\)
   • Analyse :
     La somme des chiffres de \(27\) est \(2 + 7 = 9\). Comme \(9\) est divisible par \(3\), \(27\) est également divisible par \(3\).
     
   • Calcul :
     \[ 27 \div 3 = 9 \]
   • Conclusion :
     \(\Rightarrow\) \(27\) a pour diviseurs \(1\), \(3\), \(9\) et \(27\).
     \(27\) n’est pas premier.
3. \(56\)
   • Analyse :
     Le nombre \(56\) est pair, ce qui signifie qu’il est divisible par \(2\).
     
   • Calcul :
     \[ 56 \div 2 = 28 \]
   • Conclusion :
     \(\Rightarrow\) \(56\) admet comme diviseurs au moins \(1\), \(2\), \(28\) et \(56\).
     \(56\) n’est pas premier.
4. \(19\)
   • Analyse :
     Pour savoir si \(19\) est premier, il faut vérifier si aucun nombre entier autre que \(1\) et \(19\) ne le divise.
     On teste par des diviseurs possibles inférieurs ou égaux à \(\sqrt{19}\) (la racine carrée de \(19\) est environ \(4,36\)).
     Les nombres à tester sont \(2\), \(3\) et \(4\).
     
   • Vérifications :
     \[ 19 \div 2 \quad (\text{non entier}) \] \[ 19 \div 3 \quad (\text{non entier}) \] \[ 19 \div 4 \quad (\text{non entier}) \]
   • Conclusion :
     \(\Rightarrow\) Aucun diviseur autre que \(1\) et \(19\) n’existe.
     \(19\) est un nombre premier.
5. \(12\)
   • Analyse :
     Le nombre \(12\) est pair et donc divisible par \(2\).
     
   • Calcul :
     \[ 12 \div 2 = 6 \]
   • Conclusion :
     \(\Rightarrow\) \(12\) a pour diviseurs \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\) et \(12\).
     \(12\) n’est pas premier.
6. \(29\)
   • Analyse :
     Pour déterminer si \(29\) est premier, on vérifie les diviseurs potentiels jusqu’à \(\sqrt{29}\) (environ \(5,39\)).
     Les diviseurs à tester sont \(2\), \(3\), \(4\) et \(5\).
     
   • Vérifications :
     \[ 29 \div 2 \quad (\text{non entier}) \] \[ 29 \div 3 \quad (\text{non entier}) \] \[ 29 \div 4 \quad (\text{non entier}) \] \[ 29 \div 5 \quad (\text{non entier}) \]
   • Conclusion :
     \(\Rightarrow\) Aucun nombre autre que \(1\) et \(29\) ne divise \(29\).
     \(29\) est un nombre premier.
7. \(31\)
   • Analyse :
     Pour \(31\), vérifions également tous les diviseurs possibles jusqu’à \(\sqrt{31}\) (environ \(5,57\)).
     Les diviseurs à tester sont \(2\), \(3\), \(4\) et \(5\).
     
   • Vérifications :
     \[ 31 \div 2 \quad (\text{non entier}) \] \[ 31 \div 3 \quad (\text{non entier}) \] \[ 31 \div 4 \quad (\text{non entier}) \] \[ 31 \div 5 \quad (\text{non entier}) \]
   • Conclusion :
     \(\Rightarrow\) \(31\) n’admet que \(1\) et \(31\) comme diviseurs.
     \(31\) est un nombre premier.

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Réponse finale
Les nombres premiers parmi ceux proposés sont :
\[ \boxed{19,\ 29,\ 31} \]