Exercice 9
Exercice
Parmi les nombres suivants, identifiez ceux qui sont premiers :
- \(25\)
- \(17\)
- \(36\)
- \(2\)
- \(4\)
- \(11\)
- \(21\)
Réponse
Réponse : Les nombres premiers sont 17, 2 et 11.
Corrigé détaillé
Nous allons déterminer quels nombres parmi \(25\), \(17\), \(36\), \(2\), \(4\), \(11\) et \(21\) sont premiers. Un nombre premier est
un nombre entier strictement supérieur à 1 qui n’admet que deux
diviseurs distincts : \(1\) et
lui-même.
Étape 1 : Analyse de \(25\)
- Diviseurs de 25 :
\(25\) est divisible par \(1\) et par \(25\), mais aussi par \(5\) car \(25 = 5
\times 5\).
- Conclusion :
\(25\) a plus de deux diviseurs, donc
ce n’est pas un nombre premier.
Étape 2 : Analyse de \(17\)
- Diviseurs de 17 :
Commençons par tester les diviseurs entiers entre \(2\) et \(\sqrt{17}\) (la racine carrée de \(17\) est environ \(4,12\)). Les nombres possibles sont \(2, 3,\) et \(4\).
- \(17 \div 2 = 8{,}5\) → pas un
entier.
- \(17 \div 3 \approx 5{,}67\) → pas
un entier.
- \(17 \div 4 = 4{,}25\) → pas un
entier.
- Conclusion :
Aucun diviseur ne divise \(17\)
exactement, donc ses seuls diviseurs sont \(1\) et \(17\). Ainsi, \(17\) est un nombre premier.
Étape 3 : Analyse de \(36\)
- Diviseurs de 36 :
\(36\) est divisible par \(1\) et par \(36\). De plus, \(36\) peut se décomposer ainsi :
\[
36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6
\]
- Conclusion :
Comme il a plusieurs diviseurs (par exemple \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), etc.), \(36\) n’est pas un nombre premier.
Étape 4 : Analyse de \(2\)
- Diviseurs de 2 :
Le nombre \(2\) est divisible
uniquement par \(1\) et \(2\).
- Conclusion :
\(2\) est un nombre premier. (Il s’agit
également du seul nombre premier pair.)
Étape 5 : Analyse de \(4\)
- Diviseurs de 4 :
\(4\) est divisible par \(1\) et par \(4\), mais aussi par \(2\) car \(4 = 2
\times 2\).
- Conclusion :
\(4\) a plus de deux diviseurs, donc ce
n’est pas un nombre premier.
Étape 6 : Analyse de \(11\)
- Diviseurs de 11 :
On teste les diviseurs de \(2\) à \(\sqrt{11}\) (la racine carrée de \(11\) est environ \(3,32\)). Les entiers possibles sont \(2\) et \(3\).
- \(11 \div 2 = 5{,}5\) → pas un
entier.
- \(11 \div 3 \approx 3{,}67\) → pas
un entier.
- Conclusion :
Les seuls diviseurs de \(11\) sont
\(1\) et \(11\). Donc, \(11\) est un nombre premier.
Étape 7 : Analyse de \(21\)
- Diviseurs de 21 :
\(21\) est divisible par \(1\) et par \(21\). De plus, \(21 = 3 \times 7\).
- Conclusion :
\(21\) a d’autres diviseurs (notamment
\(3\) et \(7\)), donc ce n’est pas un nombre
premier.
Résumé des résultats
Nombres premiers :
\(\boxed{17, \; 2, \; 11}\)
Nombres non premiers :
\(25, \; 36, \; 4, \; 21\)
Ainsi, parmi les nombres proposés, ceux qui sont premiers sont \(17\), \(2\) et \(11\).