Question : Soit un nombre premier défini comme un nombre qui possède exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même. La méthode dite du crible d’Ératosthène, du nom du mathématicien grec qui l’a décrite, permet de trouver tous les nombres premiers jusqu’à un certain nombre \(n\). La démarche est la suivante :
Appliquez cette méthode afin d’identifier tous les nombres premiers présents dans le tableau ci-dessous.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
| 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
| 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 |
| 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 |
| 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 |
| 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |
| 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 |
| 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 |
| 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 |
| 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 |
| 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 |
Les nombres premiers de 2 à 121 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 et 113.
Voici la correction détaillée en appliquant la méthode du crible d’Ératosthène pour identifier les nombres premiers dans le tableau de 2 à 121.
On commence par écrire tous les nombres entiers de 2 jusqu’à 121. La liste est :
\[ 2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;8,\;9,\;10,\;11,\;12, \;13,\;14,\;15,\;16,\;17,\;18,\;19,\;20,\;21,\;22,\;23,\;24,\;25,\;26,\;27,\;28,\;29,\;30,\;31,\ldots,121. \]
Le plus petit nombre de la liste est 2.
2 est premier car il possède exactement deux diviseurs
: 1 et 2.
Ensuite, on élimine tous les multiples de 2 (mais on ne retire pas 2 lui-même) :
On barre donc tous ces nombres. La liste reste avec 2 et les autres nombres non barrés pour le moment.
Le prochain nombre non barré est 3.
3 est premier.
On élimine ses multiples (en prenant soin de ne pas retirer 3 lui-même) :
On coche donc \(9, 15, 21, 27, 33, \ldots\) (ceux qui n’auraient pas déjà été barrés grâce à 2).
Le prochain nombre non barré après 3 est 5.
5 est premier.
On retire ensuite ses multiples parmi les nombres non déjà barrés :
Parmi ceux-ci, certains (comme 10, 15, 20, 30, …) ont pu être déjà éliminés, mais il faut s’assurer de barrer tous ceux qui restent, tels que \(25, 35, 55, \ldots\).
Le nombre suivant non barré est 7.
7 est premier.
On élimine les multiples de 7 parmi les nombres qui sont encore dans la liste :
Encore une fois, certains multiples ont déjà été barrés, mais on veille à éliminer ceux qui restent.
On poursuit la démarche avec le prochain nombre non barré :
Une fois arrivé à ce point, les nombres pour lesquels il est
nécessaire d’effectuer le crible restent les nombres dont le carré est
inférieur ou égal à 121.
La racine carrée de 121 est 11. Cela signifie que nous avons couvert
tous les cribles nécessaires en allant jusqu’à 11.
Les nombres qui n’ont jamais été éliminés par cette
méthode sont les nombres premiers.
En parcourant la liste finale (de 2 à 121) après avoir appliqué tous les
cribles, on obtient les nombres suivants :
\[ \begin{array}{cccccc} 2, & 3, & 5, & 7, & 11, & 13,\\[0.5em] 17, & 19, & 23, & 29, & 31, & 37,\\[0.5em] 41, & 43, & 47, & 53, & 59, & 61,\\[0.5em] 67, & 71, & 73, & 79, & 83, & 89,\\[0.5em] 97, & 101, & 103, & 107, & 109, & 113. \end{array} \]
Ces nombres sont exactement ceux qui possèdent deux diviseurs distincts (1 et eux-mêmes).
En appliquant la méthode du crible d’Ératosthène sur les nombres de 2 à 121, les nombres premiers que l’on obtient sont :
\[ 2,\;3,\;5,\;7,\;11,\;13,\;17,\;19,\;23,\;29,\;31,\;37,\;41,\;43,\;47,\;53,\;59,\;61,\;67,\;71,\;73,\;79,\;83,\;89,\;97,\;101,\;103,\;107,\;109,\;113. \]
Ainsi, tous ces nombres sont des nombres premiers ayant exactement deux diviseurs distincts.