Exercice
Placez les neuf nombres \[ 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 6,\; 7,\; 8,\; 14,\; 42 \] dans une grille 3×3 de sorte que le produit des trois nombres d’une même ligne ou d’une même colonne soit constant.
Réponse courte : On montre que les neuf nombres se répartissent obligatoirement en trois triplets de produit 168 (les ensembles {1, 4, 42}, {2, 6, 14} et {3, 7, 8}), mais pour qu’une colonne ait aussi un produit de 168 il faudrait utiliser le 4 dans chacune d’elles, ce qui est impossible. Donc, aucune disposition ne satisfait la condition.
Nous allons montrer qu’il est impossible de disposer les neuf nombres
\[ 1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;7,\;8,\;14,\;42 \]
dans une grille 3×3 de façon à ce que le produit des trois nombres sur chaque ligne et sur chaque colonne soit identique.
Remarque préliminaire sur le produit commun
Si l’on note par \(K\) la valeur commune (c’est–à–dire que pour toute ligne et toute colonne le produit est \(K\)), alors en multipliant les produits des trois lignes on obtient \[ K^3=a_1a_2\cdots a_9, \] où \(a_1,a_2,\dots,a_9\) sont les neuf nombres. Or, le produit de tous les nombres est \[ 1\times 2\times 3\times 4\times 6\times 7\times 8\times 14\times 42. \] Il est commode de montrer que, par décomposition en facteurs premiers, on a \[ 1\times2\times3\times4\times6\times7\times8\times14\times42 = 2^9\times 3^3\times 7^3 = (2^3\times3\times7)^3=(168)^3. \] D’où \[ K^3=(168)^3\quad\Longrightarrow\quad K=168. \] Autrement dit, si une disposition devait exister, le produit sur toute ligne et toute colonne devrait être égal à \(168\).
Analyse par les facteurs premiers
Chaque nombre de l’ensemble se décompose en facteurs premiers de la façon suivante : \[ \begin{array}{c|ccc} \text{Nombre} & v_{2} & v_{3} & v_{7}\\ \hline 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 2 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 3 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 4 & 2 & 0 & 0\\[1mm] 6 & 1 & 1 & 0\\[1mm] 7 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 8 & 3 & 0 & 0\\[1mm] 14 & 1 & 0 & 1\\[1mm] 42 & 1 & 1 & 1 \end{array} \] Pour qu’un triple de nombres ait pour produit \(168\) il faut que la décomposition en facteurs premiers de ce produit soit \[ 2^3\times3^1\times7^1. \] En d’autres termes, si l’on additionne les exposants \(v_2\), \(v_3\) et \(v_7\) des trois nombres d’un même groupe, il faut obtenir respectivement \(3\), \(1\) et \(1\).
On constate tout d’abord que l’ensemble se partage de façon unique en trois sous-ensembles disjoints dont les produits sont égaux à \(168\). Par exemple, on peut vérifier que :
• \(\{1,\,4,\,42\}\) convient puisque \[ 1\times 4\times42 = 168 \] et d’un point de vue des exposants, \[ (0+2+1,\;0+0+1,\;0+0+1)=(3,1,1). \]
• \(\{2,\,6,\,14\}\) convient car \[ 2\times6\times14=2\times (2\times3)\times(2\times7)=2^3\times3\times7=168. \]
• \(\{3,\,7,\,8\}\) convient puisque \[ 3\times7\times8=3\times7\times2^3=168. \]
Il apparaît alors que pour obtenir trois lignes d’ensemble séparé
(chaque ligne devant avoir un produit égal à \(168\)), il faut répartir les nombres en ces
trois groupes :
\[
\{1,\,4,\,42\},\quad \{2,\,6,\,14\},\quad\{3,\,7,\,8\}.
\] En effet, le produit total est \[
168\times168\times168=(168)^3.
\]
L’obstacle lié à la disposition en grille
Disposer ces trois groupes sur les trois lignes est a priori envisageable : chaque ligne aurait alors un produit égal à \(168\).
Mais examinons maintenant ce que cela impose aux colonnes. Dans une grille 3×3, chaque colonne reçoit un nombre de chaque groupe. Ainsi, pour une colonne donnée, on choisit un élément de \(\{1,4,42\}\), un de \(\{2,6,14\}\) et un de \(\{3,7,8\}\) et on attend que leur produit soit \(168\).
Soit, par exemple, une colonne qui reçoit \(A\) issu du premier groupe, \(B\) issu du deuxième et \(C\) issu du troisième. Alors il faut que
\[
A\times B\times C=168.
\] Parmi les trois nombres possibles du premier groupe, on peut
remarquer ce qui suit :
- Si l’on prend \(42\) (qui se
décompose en \(2^1\times3^1\times7^1\)), alors pour
obtenir \(2^3\times3^1\times7^1\) il
faudrait que \(B\times C=2^2\). Or,
aucun nombre des deux autres groupes n’étant une puissance de 2 pure
(les autres nombres contiennent éventuellement un facteur 3 ou 7), ce
choix est exclu.
- Si l’on prend \(1\) (qui ne contribue
rien aux exposants), il faudrait alors que \(B\times C=168\). Mais en testant les
produits possibles entre un élément de \(\{2,6,14\}\) et un élément de \(\{3,7,8\}\), on constate que l’on n’obtient
jamais \(168\).
- La seule possibilité est donc de prendre \(4\) (qui a pour décomposition \(2^2\)). En effet, il faudrait alors que
\(B\times C=168/4=42\). En examinant
les nombres du deuxième et du troisième groupe, on remarque que le
produit \(3\times14=42\) et aussi \(7\times6=42\).
Toutefois, pour qu’une disposition dans la grille soit correcte, il faut
que chaque colonne ait sa « case du premier groupe » choisie parmi \(\{1,4,42\}\) de sorte que, dans chacune des
trois colonnes, le même nombre de ce groupe soit utilisé. Or, nous
constatons que pour obtenir \(A\times B\times
C=168\) il faut obligatoirement choisir \(A=4\) (puisque les autres valeurs ne
permettent pas de compléter correctement les factors).
Mais le groupe \(\{1,4,42\}\) ne
contient qu’un seul \(4\) !
Cela signifie que quel que soit l’agencement choisi des trois groupes
sur les lignes de la grille, pour composer chacune des trois colonnes on
serait obligé d’employer le \(4\) trois
fois, ce qui est impossible puisque chaque nombre doit être utilisé une
seule fois.
Conclusion
La réflexion menée par les décompositions en facteurs premiers montre que, même si l’on peut répartir les neuf nombres en trois groupes (les lignes) de sorte que chacun ait pour produit \(168\), il est impossible de les affecter aux cases d’une grille 3×3 de façon à ce que, lorsqu’on « lit » verticalement (les colonnes), le produit des trois nombres soit également \(168\).
Ainsi, il n’existe aucune disposition des neuf nombres proposée telle que le produit des trois nombres de chaque ligne et de chaque colonne soit constant (égale à 168).
Bilan de la démonstration
Conclusion définitive : il n’existe aucune solution à l’exercice proposé.