Exercice 6

Exercice

Considérons la liste des neuf premiers nombres premiers :
\[ 2,\; 3,\; 5,\; 7,\; 11,\; 13,\; 17,\; 19,\; 23. \]
On retire successivement deux nombres dont le produit vaut :
\[ 26,\quad 57,\quad 85,\quad 77. \]
Calculer le produit du nombre restant par le dixième nombre premier.

Réponse

Le produit final est 667.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Étape 1 : Identifier les paires de nombres à retirer

On vous donne la liste des neuf premiers nombres premiers :

\[ 2,\; 3,\; 5,\; 7,\; 11,\; 13,\; 17,\; 19,\; 23. \]

Ensuite, il est indiqué que l’on retire successivement deux nombres dont le produit vaut : \[ 26,\quad 57,\quad 85,\quad 77. \]

Nous allons identifier pour chaque produit la paire de nombres premiers qui, multipliés, donnent ce nombre.

1. Produit : 26

   Cherchons deux nombres parmi la liste dont le produit est 26.
   On remarque que : \[ 2 \times 13 = 26. \] On retire donc 2 et 13.

2. Produit : 57

   Cherchons deux nombres dont le produit est 57.
   Testons : \[ 3 \times 19 = 57. \] On retire donc 3 et 19.

3. Produit : 85

   Cherchons deux nombres dont le produit est 85.
   Vérifions : \[ 5 \times 17 = 85. \] On retire donc 5 et 17.

4. Produit : 77

   Cherchons deux nombres dont le produit est 77.
   Calculons : \[ 7 \times 11 = 77. \] On retire donc 7 et 11.

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Étape 2 : Identifier le nombre restant

Rappelons la liste initiale des nombres premiers :

\[ \{2,\, 3,\, 5,\, 7,\, 11,\, 13,\, 17,\, 19,\, 23\}. \]

Après avoir retiré les nombres trouvés précédemment : - On a retiré \(2\) et \(13\) (pour 26), - On a retiré \(3\) et \(19\) (pour 57), - On a retiré \(5\) et \(17\) (pour 85), - On a retiré \(7\) et \(11\) (pour 77).

Il ne reste donc qu’un seul nombre dans la liste, qui est :

\[ 23. \]

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Étape 3 : Calculer le produit avec le dixième nombre premier

Nous devons multiplier le nombre restant par le dixième nombre premier.
On connaît les neuf premiers nombres premiers donnés.
Le dixième nombre premier est le suivant dans la suite des nombres premiers.
Après \(23\), le prochain nombre premier est :

\[ 29. \]

Calcul du produit :

\[ 23 \times 29. \]

Pour effectuer cette multiplication, procédez comme suit :

• \(20 \times 29 = 580\)
  
• \(3 \times 29 = 87\)
  
• Ensuite, additionnez les deux résultats : \[ 580 + 87 = 667. \]

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Conclusion :

Le produit du nombre restant (23) par le dixième nombre premier (29) est :

\[ 667. \]