Deux nombres premiers \(p\) et \(q\) sont appelés nombres premiers jumeaux si \(q-p=2\).
Par exemple, \(3\) et \(5\) forment un couple de nombres premiers jumeaux, car \(5-3=2\).
Donnez un couple de nombres premiers jumeaux dont chacun des deux nombres est supérieur à \(10\).
La solution est 11 et 13.
Voici une correction détaillée de l’exercice :
On dit que deux nombres premiers \(p\) et \(q\) sont des nombres premiers jumeaux si
\[ q - p = 2. \]
L’exercice nous demande de trouver un couple de nombres premiers jumeaux tel que chacun des deux nombres soit supérieur à 10.
Les premiers nombres premiers supérieurs à 10 sont :
\[ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ \dots \]
Nous allons examiner ces nombres par paires :
Pour \(p = 11\), le nombre premier suivant est \(13\) :
\[ 13 - 11 = 2. \]
La différence est bien 2, donc \(11\) et \(13\) forment un couple de nombres premiers jumeaux.
On peut aussi remarquer un autre couple avec \(p = 17\) et \(q = 19\) puisque :
\[ 19 - 17 = 2. \]
Cependant, l’exercice demande simplement de donner un couple, il suffit donc de choisir l’un des deux.
Nous avons trouvé que \(11\) et \(13\) sont tous les deux supérieurs à 10 et que :
\[ 13 - 11 = 2. \]
Ainsi, le couple \((11, 13)\) est un bon exemple de nombres premiers jumeaux répondant aux conditions de l’exercice.
Un couple de nombres premiers jumeaux dont chacun des deux nombres est supérieur à 10 est :
\[ \boxed{11 \text{ et } 13}. \]