Exercice 4

Décomposez chacun des nombres suivants en un produit de nombres premiers :

\(18\), \(48\), \(90\), \(108\), \(360\), \(729\)
\(30\), \(38\), \(42\), \(96\), \(198\), \(800\)

Réponse

Voici le résumé :

Partie a)
18 = 2 × 3²
48 = 2⁴ × 3
90 = 2 × 3² × 5
108 = 2² × 3³
360 = 2³ × 3² × 5
729 = 3⁶

Partie b)
30 = 2 × 3 × 5
38 = 2 × 19
42 = 2 × 3 × 7
96 = 2⁵ × 3
198 = 2 × 3² × 11
800 = 2⁵ × 5²

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour décomposer chacun des nombres donnés en un produit de nombres premiers.

Partie a)

Nous allons décomposer chaque nombre en multipliant ses facteurs premiers.

1) Pour \(18\)

Divisons \(18\) par le plus petit diviseur premier qui est \(2\) :
\(18 \div 2 = 9\).
Ensuite, décomposons \(9\) :
\(9 = 3 \times 3 = 3^2\).
Donc, on obtient :
\[ 18 = 2 \times 3^2 \]

2) Pour \(48\)

Divisons \(48\) par \(2\) plusieurs fois car le nombre est pair : \[ 48 \div 2 = 24,\quad 24 \div 2 = 12,\quad 12 \div 2 = 6,\quad 6 \div 2 = 3. \] Ainsi, nous avons utilisé \(2\) quatre fois.
Le reste est \(3\) qui est un nombre premier.
On peut écrire : \[ 48 = 2^4 \times 3 \]

3) Pour \(90\)

Divisons \(90\) par \(2\) :
\(90 \div 2 = 45\).
Puis décomposons \(45\) qui est divisible par \(3\) :
\(45 \div 3 = 15\) et \(15 \div 3 = 5\).
Ainsi, \(45 = 3^2 \times 5\).
La décomposition complète est : \[ 90 = 2 \times 3^2 \times 5 \]

4) Pour \(108\)

Divisons \(108\) par \(2\) :
\(108 \div 2 = 54\).
Divisons \(54\) par \(2\) encore une fois :
\(54 \div 2 = 27\).
On a donc \(2^2\) comme facteur.
\(27\) se décompose en \(3 \times 9\) et \(9 = 3 \times 3\), donc \(27 = 3^3\).
Ainsi, on obtient : \[ 108 = 2^2 \times 3^3 \]

5) Pour \(360\)

Divisons \(360\) par \(2\) : \[ 360 \div 2 = 180,\quad 180 \div 2 = 90,\quad 90 \div 2 = 45. \] On a utilisé \(2\) trois fois, donc \(2^3\).
Ensuite, décomposons \(45\) :
\(45 \div 3 = 15,\quad 15 \div 3 = 5\), ce qui donne \(3^2\) et enfin \(5\).
La décomposition complète est : \[ 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \]

6) Pour \(729\)

\(729\) est un nombre qui se divise par \(3\) plusieurs fois. On peut remarquer que :
\[ 3^6 = 729 \quad \text{(car } 3^6 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 729\text{)} \]
Ainsi, la décomposition est : \[ 729 = 3^6 \]

Partie b)

Maintenant, décomposons chacun des nombres de la seconde partie.

1) Pour \(30\)

\(30\) est pair :
\(30 \div 2 = 15\).
\(15\) se décompose en \(3 \times 5\).
On obtient donc : \[ 30 = 2 \times 3 \times 5 \]

2) Pour \(38\)

\(38\) est pair :
\(38 \div 2 = 19\).
\(19\) est un nombre premier.
La décomposition est : \[ 38 = 2 \times 19 \]

3) Pour \(42\)

Divisons \(42\) par \(2\) :
\(42 \div 2 = 21\).
\(21\) se décompose en \(3 \times 7\).
La décomposition complète est : \[ 42 = 2 \times 3 \times 7 \]

4) Pour \(96\)

\(96\) est pair, alors divisons par \(2\) plusieurs fois : \[ 96 \div 2 = 48,\quad 48 \div 2 = 24,\quad 24 \div 2 = 12,\quad 12 \div 2 = 6,\quad 6 \div 2 = 3. \] On a utilisé \(2\) cinq fois, soit \(2^5\).
Le restant est \(3\).
La décomposition est donc : \[ 96 = 2^5 \times 3 \]

5) Pour \(198\)

\(198\) est pair, donc divisons par \(2\) :
\(198 \div 2 = 99\).
\(99\) se décompose en \(9 \times 11\), et \(9 = 3 \times 3 = 3^2\).
Ainsi, on obtient : \[ 198 = 2 \times 3^2 \times 11 \]

6) Pour \(800\)

\(800\) est pair, commençons par diviser par \(2\) : \[ 800 \div 2 = 400,\quad 400 \div 2 = 200,\quad 200 \div 2 = 100,\quad 100 \div 2 = 50,\quad 50 \div 2 = 25. \] On a utilisé \(2\) cinq fois, soit \(2^5\).
\(25\) se décompose en \(5 \times 5 = 5^2\).
La décomposition complète est : \[ 800 = 2^5 \times 5^2 \]

Récapitulatif des décompositions

Partie a)
\[ \begin{aligned} 18 &= 2 \times 3^2 \\ 48 &= 2^4 \times 3 \\ 90 &= 2 \times 3^2 \times 5 \\ 108 &= 2^2 \times 3^3 \\ 360 &= 2^3 \times 3^2 \times 5 \\ 729 &= 3^6 \end{aligned} \]
Partie b)
\[ \begin{aligned} 30 &= 2 \times 3 \times 5 \\ 38 &= 2 \times 19 \\ 42 &= 2 \times 3 \times 7 \\ 96 &= 2^5 \times 3 \\ 198 &= 2 \times 3^2 \times 11 \\ 800 &= 2^5 \times 5^2 \end{aligned} \]

Chaque étape suit une décomposition en divisant successivement par les nombres premiers les plus petits, permettant ainsi d’exprimer chaque nombre comme produit de facteurs premiers. Cette méthode est très pratique pour comprendre comment les nombres se construisent à partir de leurs éléments de base.