Exercice :
Pour chaque nombre, déterminez ses diviseurs premiers :
\[ \begin{aligned} (a)& \, 14 \\ (b)& \, 20 \\ (c)& \, 33 \\ (d)& \, 56 \\ (e)& \, 36 \\ (f)& \, 91 \end{aligned} \]
Réponses très courtes : (a) 14 → 2 et 7
(b) 20 → 2 et 5
(c) 33 → 3 et 11
(d) 56 → 2 et 7
(e) 36 → 2 et 3
(f) 91 → 7 et 13
Voici la correction complète de l’exercice en détaillant chaque étape :
Pour déterminer les diviseurs premiers d’un nombre, il faut trouver les nombres premiers qui le divisent exactement (c’est-à-dire sans reste). Un nombre premier est un nombre qui a exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Observation de la parité :
14 est pair, donc il est divisible par 2.
\[
14 \div 2 = 7
\]
Vérification du second facteur :
On obtient 7. Comme 7 est un nombre premier, il n’a d’autre diviseur
premier que lui-même.
Conclusion :
Les diviseurs premiers de 14 sont
\[
\boxed{2 \text{ et } 7}
\]
Décomposition initiale :
20 est pair, donc divisible par 2.
\[
20 \div 2 = 10
\]
Continuer la décomposition :
10 est encore pair, donc divisible par 2 :
\[
10 \div 2 = 5
\]
Vérification finale :
5 est un nombre premier (seulement divisible par 1 et 5).
Conclusion :
La décomposition en facteurs premiers de 20 est
\[
20 = 2^2 \times 5
\]
Les diviseurs premiers de 20 sont
\[
\boxed{2 \text{ et } 5}
\]
Tester les diviseurs simples :
33 n’est pas pair (donc non divisible par 2).
Vérifions ensuite avec 3 :
\[
33 \div 3 = 11
\]
Vérification de 11 :
11 est un nombre premier.
Conclusion :
Les diviseurs premiers de 33 sont
\[
\boxed{3 \text{ et } 11}
\]
Observation de la parité :
56 est pair, donc divisible par 2 :
\[
56 \div 2 = 28
\]
Continuer la décomposition :
28 est encore pair :
\[
28 \div 2 = 14
\]
Puis, 14 est pair de nouveau :
\[
14 \div 2 = 7
\]
Vérification finale :
7 est un nombre premier.
Conclusion :
La décomposition en facteurs premiers de 56 est
\[
56 = 2^3 \times 7
\]
Les diviseurs premiers de 56 sont
\[
\boxed{2 \text{ et } 7}
\]
Décomposition par les petits nombres premiers
:
36 est pair, donc divisible par 2 :
\[
36 \div 2 = 18
\]
Continuer la division par 2 :
18 est encore pair :
\[
18 \div 2 = 9
\]
Passer aux nombres impairs :
9 n’est pas pair. On vérifie avec 3 :
\[
9 \div 3 = 3
\]
Et 3 est premier.
Conclusion :
Ainsi, la décomposition en facteurs premiers de 36 est
\[
36 = 2^2 \times 3^2
\]
Les diviseurs premiers de 36 sont
\[
\boxed{2 \text{ et } 3}
\]
Tester les diviseurs premiers connus :
91 est impair, donc il n’est pas divisible par 2.
Vérifions avec 3 :
La somme des chiffres est \(9 + 1 =
10\), qui n’est pas divisible par 3, donc 91 n’est pas divisible
par 3.
Vérifions ensuite avec 5 :
91 ne se termine pas par 0 ou 5, donc il n’est pas divisible par
5.
Division par 7 :
Essayons avec 7 :
\[
91 \div 7 = 13
\]
Vérification de 13 :
13 est un nombre premier.
Conclusion :
Les diviseurs premiers de 91 sont
\[
\boxed{7 \text{ et } 13}
\]
\[ \begin{aligned} (a)\; 14 & \quad\to\quad 2 \text{ et } 7, \\ (b)\; 20 & \quad\to\quad 2 \text{ et } 5, \\ (c)\; 33 & \quad\to\quad 3 \text{ et } 11, \\ (d)\; 56 & \quad\to\quad 2 \text{ et } 7, \\ (e)\; 36 & \quad\to\quad 2 \text{ et } 3, \\ (f)\; 91 & \quad\to\quad 7 \text{ et } 13. \end{aligned} \]
Cette démarche permet de décomposer chaque nombre en ses facteurs premiers en s’appuyant sur les règles de divisibilité et en vérifiant si les facteurs sont premiers.