Exercice 2

Exercice

Trouvez tous les nombres premiers :

  1. Strictement inférieurs à \(30\) ;

  2. Situés entre \(100\) et \(130\).

Réponse

  1. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
  2. 101, 103, 107, 109, 113, 127

Corrigé détaillé

Nous allons déterminer, étape par étape, les nombres premiers dans les deux intervalles demandés. Pour rappel, un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1 qui n’a pour diviseurs que 1 et lui-même.

a) Nombres premiers strictement inférieurs à 30

Les entiers à considérer sont :
\[ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 \]

Nous allons éliminer ceux qui ne sont pas premiers.

Ainsi, les nombres premiers strictement inférieurs à 30 sont :
\[ 2,\; 3,\; 5,\; 7,\; 11,\; 13,\; 17,\; 19,\; 23,\; 29. \]

b) Nombres premiers situés entre 100 et 130

Ici, nous étudions les nombres entiers compris entre 100 et 130. Nous allons vérifier chacun des entiers de cet intervalle pour déterminer s’ils sont premiers.

Les nombres de 100 à 130 sont :
\[ 100,\, 101,\, 102,\, 103,\, 104,\, 105,\, 106,\, 107,\, 108,\, 109,\, 110,\, 111,\, 112,\, 113,\, 114,\, 115,\, 116,\, 117,\, 118,\, 119,\, 120,\, 121,\, 122,\, 123,\, 124,\, 125,\, 126,\, 127,\, 128,\, 129,\, 130. \]

Nous pouvons éliminer rapidement certains nombres :

Examinons donc les nombres restants :

  1. 101
    • On vérifie ses diviseurs éventuels (2, 3, 5, 7, …).
    • Aucune multiplication ne permet d’obtenir 101 avec des diviseurs autres que 1 et 101.
    • Donc, 101 est premier.
  2. 103
    • De même, aucun diviseur (2, 3, 5, 7, …) ne divise 103 exactement.
    • Ainsi, 103 est premier.
  3. 105
    • 105 = 3 × 35 ou 5 × 21 ou encore 7 × 15.
    • Ce nombre possède plusieurs diviseurs, il n’est donc pas premier.
  4. 107
    • On teste les diviseurs de 2, 3, 5, 7, … et aucun ne divise 107.
    • Donc, 107 est premier.
  5. 109
    • Aucun diviseur autre que 1 et 109 ne fonctionne (en testant 2, 3, 5, 7, …).
    • Ainsi, 109 est premier.
  6. 111
    • 111 = 3 × 37 (car \(1 + 1 + 1 = 3\), ce qui indique qu’il est divisible par 3).
    • Ce n’est pas un nombre premier.
  7. 113
    • En testant les diviseurs possibles, aucun nombre autre que 1 et 113 ne divise exactement 113.
    • Donc, 113 est premier.
  8. 115
    • 115 = 5 × 23.
    • Ce nombre n’est pas premier.
  9. 117
    • 117 = 3 × 39 (car \(1 + 1 + 7 = 9\), qui est divisible par 3).
    • Ainsi, 117 n’est pas premier.
  10. 119
    • 119 = 7 × 17.
    • Donc, 119 n’est pas premier.
  11. 121
    • 121 = 11 × 11.
    • Ce nombre n’est pas premier.
  12. 123
    • 123 = 3 × 41 (car \(1+2+3=6\), divisible par 3).
    • Ainsi, 123 n’est pas premier.
  13. 125
    • 125 = 5 × 25 ou 5^3.
    • Ce nombre n’est pas premier.
  14. 127
    • Pour 127, aucun diviseur (parmi 2, 3, 5, 7, 11…) ne convient.
    • Donc, 127 est premier.
  15. 129
    • 129 = 3 × 43 (car \(1+2+9=12\), divisible par 3).
    • Ce nombre n’est pas premier.

En résumé, les nombres premiers trouvés entre 100 et 130 sont :
\[ 101,\, 103,\, 107,\, 109,\, 113,\, 127. \]

Conclusion

Cette méthode permet de vérifier la primalité en éliminant les multiples évidents et en testant les diviseurs possibles.

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