Exercice 1

Exercice

Pour chaque nombre de la liste ci-dessous, déterminez s’il est premier. Si un nombre n’est pas premier, indiquez son plus petit diviseur autre que 1.

\[ 11,\; 14,\; 19,\; 22,\; 35,\; 49,\; 67,\; 73,\; 121,\; 221,\; 289. \]

Réponse

11, 19, 67 et 73 sont premiers.
14 et 22 ne sont pas premiers (le plus petit diviseur est 2),
35 n’est pas premier (diviseur : 5),
49 n’est pas premier (diviseur : 7),
121 n’est pas premier (diviseur : 11),
221 n’est pas premier (diviseur : 13)
et 289 n’est pas premier (diviseur : 17).

Corrigé détaillé

Nous allons déterminer pour chaque nombre s’il est premier. Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Pour chaque nombre, nous testons la divisibilité par les nombres premiers plus petits que lui (sans oublier de s’arrêter dès qu’on trouve un diviseur autre que 1).

1. Pour le nombre \(11\)

On teste les diviseurs possibles (2, 3, …).
\(11\) n’est divisible ni par \(2\) (\(11 \div 2 = 5,5\)) ni par \(3\) (\(11 \div 3 \approxeq 3,67\)).
Conclusion : \(11\) est un nombre premier.

2. Pour le nombre \(14\)

On teste \(2\) :
\[ 14 \div 2 = 7 \quad (\text{division exacte}) \]
On a trouvé un diviseur autre que 1.
Conclusion : \(14\) n’est pas premier et son plus petit diviseur autre que 1 est \(2\).

3. Pour le nombre \(19\)

Testons avec \(2\), \(3\), \(5\) :
\[ 19 \div 2 = 9,5,\quad 19 \div 3 \approxeq 6,33,\quad 19 \div 5 = 3,8. \]
Aucun de ces nombres ne divise \(19\) sans reste.
Conclusion : \(19\) est un nombre premier.

4. Pour le nombre \(22\)

On teste \(2\) :
\[ 22 \div 2 = 11 \]
Le résultat est un nombre entier.
Conclusion : \(22\) n’est pas premier et son plus petit diviseur autre que 1 est \(2\).

5. Pour le nombre \(35\)

On teste successivement :
- \(2\) : \(35 \div 2 = 17,5\) (pas exact)
- \(3\) : \(35 \div 3 \approxeq 11,67\) (pas exact)
- \(5\) : \(35 \div 5 = 7\) (division exacte)
Conclusion : \(35\) n’est pas premier et son plus petit diviseur autre que 1 est \(5\).

6. Pour le nombre \(49\)

On teste :
- \(2\) : \(49 \div 2 = 24,5\)
- \(3\) : \(49 \div 3 \approxeq 16,33\)
- \(5\) : \(49 \div 5 = 9,8\)
- \(7\) : \(49 \div 7 = 7\) (division exacte)
Conclusion : \(49\) n’est pas premier et son plus petit diviseur autre que 1 est \(7\).

7. Pour le nombre \(67\)

On teste les diviseurs :
\[ 67 \div 2 = 33,5,\quad 67 \div 3 \approxeq 22,33,\quad 67 \div 5 = 13,4,\quad 67 \div 7 \approxeq 9,57 \]
Aucun de ces nombres ne divise \(67\) exactement.
Conclusion : \(67\) est un nombre premier.

8. Pour le nombre \(73\)

On teste :
\[ 73 \div 2 = 36,5,\quad 73 \div 3 \approxeq 24,33,\quad 73 \div 5 = 14,6,\quad 73 \div 7 \approxeq 10,43 \]
Aucun diviseur exact n’est trouvé parmi ces essais.
Conclusion : \(73\) est un nombre premier.

9. Pour le nombre \(121\)

On teste les diviseurs :
- \(2\) : \(121 \div 2 = 60,5\)
- \(3\) : \(121 \div 3 \approxeq 40,33\)
- \(5\) : \(121 \div 5 = 24,2\)
- \(11\) : \(121 \div 11 = 11\) (division exacte)
Conclusion : \(121\) n’est pas premier et son plus petit diviseur autre que 1 est \(11\).

10. Pour le nombre \(221\)

Les premiers diviseurs potentiels à tester sont \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\) et \(13\).
- \(2\) : \(221 \div 2 = 110,5\)
- \(3\) : \(221 \div 3 \approxeq 73,67\)
- \(5\) : \(221 \div 5 = 44,2\)
- \(7\) : \(221 \div 7 \approxeq 31,57\)
- \(11\) : \(221 \div 11 \approxeq 20,09\)
- \(13\) : \(221 \div 13 = 17\) (division exacte)
Conclusion : \(221\) n’est pas premier et son plus petit diviseur autre que 1 est \(13\).

11. Pour le nombre \(289\)

On teste :
- \(2\) : \(289 \div 2 = 144,5\)
- \(3\) : \(289 \div 3 \approxeq 96,33\)
- \(5\) : \(289 \div 5 = 57,8\)
- \(7\) : \(289 \div 7 \approxeq 41,29\)
- \(17\) : \(289 \div 17 = 17\) (division exacte)
Conclusion : \(289\) n’est pas premier et son plus petit diviseur autre que 1 est \(17\).

Récapitulatif final

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \textbf{Nombre} & \textbf{Premier ?} & \textbf{Plus petit diviseur (si non premier)} \\ \hline 11 & \text{Oui} & - \\ \hline 14 & \text{Non} & 2 \\ \hline 19 & \text{Oui} & - \\ \hline 22 & \text{Non} & 2 \\ \hline 35 & \text{Non} & 5 \\ \hline 49 & \text{Non} & 7 \\ \hline 67 & \text{Oui} & - \\ \hline 73 & \text{Oui} & - \\ \hline 121 & \text{Non} & 11 \\ \hline 221 & \text{Non} & 13 \\ \hline 289 & \text{Non} & 17 \\ \hline \end{array} \]

Chaque étape consiste à tester la divisibilité par de petits diviseurs et à s’arrêter dès qu’un diviseur exact est trouvé (pour les cas non premiers). Cette méthode permet de vérifier efficacement si un nombre est premier ou non.

Voilà la correction complète de l’exercice.