Exercices corrigés - Nombres premiers et décomposition - 10e

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Exercice 1

Exercice

Pour chaque nombre de la liste ci-dessous, déterminez s’il est premier. Si un nombre n’est pas premier, indiquez son plus petit diviseur autre que 1.

\[ 11,\; 14,\; 19,\; 22,\; 35,\; 49,\; 67,\; 73,\; 121,\; 221,\; 289. \]

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Exercice 2

Exercice

Trouvez tous les nombres premiers :

1. Strictement inférieurs à \(30\) ;

2. Situés entre \(100\) et \(130\).

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Exercice 3

Exercice :

Pour chaque nombre, déterminez ses diviseurs premiers :

\[ \begin{aligned} (a)& \, 14 \\ (b)& \, 20 \\ (c)& \, 33 \\ (d)& \, 56 \\ (e)& \, 36 \\ (f)& \, 91 \end{aligned} \]

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Exercice 4

Décomposez chacun des nombres suivants en un produit de nombres premiers :

1. \(18\), \(48\), \(90\), \(108\), \(360\), \(729\)

2. \(30\), \(38\), \(42\), \(96\), \(198\), \(800\)

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Exercice 5

Deux nombres premiers \(p\) et \(q\) sont appelés nombres premiers jumeaux si \(q-p=2\).

Par exemple, \(3\) et \(5\) forment un couple de nombres premiers jumeaux, car \(5-3=2\).

Donnez un couple de nombres premiers jumeaux dont chacun des deux nombres est supérieur à \(10\).

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Exercice 6

Exercice

Considérons la liste des neuf premiers nombres premiers :
\[ 2,\; 3,\; 5,\; 7,\; 11,\; 13,\; 17,\; 19,\; 23. \]
On retire successivement deux nombres dont le produit vaut :
\[ 26,\quad 57,\quad 85,\quad 77. \]
Calculer le produit du nombre restant par le dixième nombre premier.

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Exercice 7

Exercice

Placez les neuf nombres \[ 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 6,\; 7,\; 8,\; 14,\; 42 \] dans une grille 3×3 de sorte que le produit des trois nombres d’une même ligne ou d’une même colonne soit constant.

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Exercice 8

Question : Soit un nombre premier défini comme un nombre qui possède exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même. La méthode dite du crible d’Ératosthène, du nom du mathématicien grec qui l’a décrite, permet de trouver tous les nombres premiers jusqu’à un certain nombre \(n\). La démarche est la suivante :

• Écrire la liste de tous les nombres de 2 à \(n\) ;
• Choisir le premier nombre de la liste (qui est premier) et barrer tous ses multiples qui figurent encore dans la liste ;
• Reprendre avec le prochain nombre non barré qui apparaîtra dans la liste ;
• Poursuivre ces étapes jusqu’à ce qu’il ne soit plus possible d’éliminer d’autres nombres.

Appliquez cette méthode afin d’identifier tous les nombres premiers présents dans le tableau ci-dessous.

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
32	33	34	35	36	37	38	39	40	41
42	43	44	45	46	47	48	49	50	51
52	53	54	55	56	57	58	59	60	61
62	63	64	65	66	67	68	69	70	71
72	73	74	75	76	77	78	79	80	81
82	83	84	85	86	87	88	89	90	91
92	93	94	95	96	97	98	99	100	101
102	103	104	105	106	107	108	109	110	111
112	113	114	115	116	117	118	119	120	121

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Exercice 9

Exercice

Parmi les nombres suivants, identifiez ceux qui sont premiers :

1. \(25\)
   
2. \(17\)
   
3. \(36\)
   
4. \(2\)
   
5. \(4\)
   
6. \(11\)
   
7. \(21\)

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Exercice 10

Exercice :

Parmi les nombres suivants, identifiez ceux qui sont premiers :

1. \(99\)
2. \(27\)
3. \(56\)
4. \(19\)
5. \(12\)
6. \(29\)
7. \(31\)

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Exercice 11

Exercice : Décomposition en facteurs premiers

Décomposez chacun des nombres suivants en produit de facteurs premiers :

1. \(6\)
   
2. \(18\)
   
3. \(30\)
   
4. \(24\)
   
5. \(44\)
   
6. \(8\)
   
7. \(34\)

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Exercice 12

Exercice

Décomposez en produit de facteurs premiers les nombres suivants :

1. \(42\)
2. \(36\)
3. \(60\)
4. \(32\)
5. \(28\)
6. \(12\)
7. \(20\)

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Exercice 13

Exercice : Décomposition en facteurs premiers

Décomposer chacun des nombres suivants en produit de facteurs premiers :

1. \(80\)
   
2. \(56\)
   
3. \(54\)
   
4. \(33\)
   
5. \(63\)
   
6. \(38\)
   
7. \(15\)

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Exercice 14

Exercice

Décomposez chacun des entiers suivants en produit de facteurs premiers :

1. \(1500\)
   
2. \(360\)
   
3. \(800\)
   
4. \(88\)
   
5. \(4920\)

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Exercice 15

Exercice :

Décomposez en produit de facteurs premiers chacun des entiers suivants :

1. \(720\)
2. \(1584\)
3. \(4620\)
4. \(1250\)
5. \(1232\)

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Exercice 16

Exercice : Factorisation en nombres premiers

Factorisez chacun des entiers suivants sous la forme d’un produit de facteurs premiers :

1. \(1225\)
   
2. \(11088\)
   
3. \(1386\)
   
4. \(891\)
   
5. \(1250\)

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Exercice 17

À chaque lettre correspond un nombre :

\[ A=1,\quad B=2,\quad C=3,\quad D=4,\quad \ldots \]

Dans ce mot croisé, les définitions ont été remplacées par le produit des valeurs correspondantes aux lettres d’un mot.

Par exemple, le mot « MER » se transforme en :

\[ 13 \cdot 5 \cdot 18 = 1170. \]

Retrouvez les mots horizontaux et verticaux dans le schéma en utilisant les produits indiqués.

Horizontalement :

1. 855
   
2. 2394
   
3. 5 ** 9 ** 13
   
4. 399 ** 60
   
5. 19 ** 19

Verticalement :

1. 665
   
2. \(3^{**}\, 399\)
   
3. 486
   
4. 95 ** 12
   
5. 19 ** 1235

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