Déterminez le nombre total de points présents sur l’ensemble des 28 pièces d’un jeu de dominos.
Le total des points sur l’ensemble d’un jeu de dominos double-six est 168.
Nous allons montrer pas à pas comment calculer le nombre total de points sur l’ensemble des 28 pièces d’un jeu de dominos (jeu double-six).
Un jeu de dominos standard (double-six) contient 28 pièces. Chaque
pièce est représentée par deux valeurs, allant de 0 à 6.
Les pièces sont de la forme \((i,j)\)
avec \(0 \leq i \leq j \leq 6\).
Remarque importante :
- Pour une pièce \((i,j)\) avec
\(i \neq j\), on écrit \(i\) sur une moitié et \(j\) sur l’autre, ce qui signifie que le
total de points sur cette pièce est \(i+j\).
- Pour une pièce \((i,i)\), le nombre
\(i\) est écrit des deux côtés et la
pièce affiche donc \(i+i=2i\).
Il existe deux méthodes pour trouver la somme totale des points sur l’ensemble du jeu.
On va additionner la somme des points sur chaque pièce.
Liste des pièces en fonction de la première valeur :
Pour \(i=0\) (les pièces \((0,j)\) où \(j\) varie de 0 à 6) : \[ (0,0): 0+0=0 \quad,\quad (0,1): 0+1=1 \quad,\quad (0,2): 0+2=2 \quad,\quad \ldots \quad (0,6): 0+6=6. \] La somme pour \(i = 0\) est : \[ 0+1+2+3+4+5+6=21. \]
Pour \(i=1\) (les pièces \((1,j)\) avec \(j\) de 1 à 6) : \[ (1,1): 1+1=2,\quad (1,2): 1+2=3,\quad (1,3): 1+3=4,\quad (1,4): 1+4=5,\quad (1,5): 1+5=6,\quad (1,6): 1+6=7. \] La somme pour \(i = 1\) est : \[ 2+3+4+5+6+7=27. \]
Pour \(i=2\) (les pièces \((2,j)\) avec \(j\) de 2 à 6) : \[ (2,2): 2+2=4,\quad (2,3): 2+3=5,\quad (2,4): 2+4=6,\quad (2,5): 2+5=7,\quad (2,6): 2+6=8. \] La somme pour \(i = 2\) est : \[ 4+5+6+7+8=30. \]
Pour \(i=3\) (les pièces \((3,j)\) avec \(j\) de 3 à 6) : \[ (3,3): 3+3=6,\quad (3,4): 3+4=7,\quad (3,5): 3+5=8,\quad (3,6): 3+6=9. \] La somme pour \(i = 3\) est : \[ 6+7+8+9=30. \]
Pour \(i=4\) (les pièces \((4,j)\) avec \(j\) de 4 à 6) : \[ (4,4): 4+4=8,\quad (4,5): 4+5=9,\quad (4,6): 4+6=10. \] La somme pour \(i = 4\) est : \[ 8+9+10=27. \]
Pour \(i=5\) (les pièces \((5,j)\) avec \(j\) de 5 à 6) : \[ (5,5): 5+5=10,\quad (5,6): 5+6=11. \] La somme pour \(i = 5\) est : \[ 10+11=21. \]
Pour \(i=6\) (seule pièce \((6,6)\)) : \[ (6,6): 6+6=12. \]
Additionner toutes ces sommes :
\[ 21 + 27 + 30 + 30 + 27 + 21 + 12. \]
Calculons pas à pas :
Ainsi, le nombre total de points est \(168\).
Chaque domino comporte deux côtés, donc le nombre total d’apparitions de nombres dans l’ensemble est : \[ 28 \times 2 = 56. \]
Pour chaque nombre \(n\) (allant de 0 à 6) :
Pour compter le nombre de fois que \(n\) apparaît : - Pour \(n\), il y a \(n\) pièces de la forme \((m,n)\) avec \(m < n\) (chaque pièce apporte une seule occurrence). - Il y a \(6-n\) pièces de la forme \((n,m)\) avec \(m > n\) (chaque pièce apporte une occurrence). - Plus la pièce \((n,n)\) qui apporte deux occurrences.
La fréquence est donc : \[ \text{fréquence de } n = n + (6-n) + 2 = 6 + 2 = 8. \]
Cela signifie que chaque nombre de 0 à 6 apparaît exactement 8 fois sur l’ensemble des 28 pièces.
On fait la somme pour tous les nombres de 0 à 6 : \[ \text{Total} = 8 \times (0+1+2+3+4+5+6). \]
Calculons la somme à l’intérieur de la parenthèse : \[ 0+1+2+3+4+5+6 = 21. \]
Ensuite : \[ 8 \times 21 = 168. \]
On retrouve donc le même résultat.
Le nombre total de points sur l’ensemble des 28 pièces d’un jeu de dominos double-six est \(\boxed{168}\).
Cette solution a été obtenue en additionnant individuellement la valeur de chaque côté de toutes les pièces ou en comptant la fréquence d’apparition de chaque nombre et en multipliant par la somme de ces nombres.
Cela permet de comprendre les deux démarches possibles pour résoudre ce problème de manière simple et claire.