Exercice : Compléter les grilles
Chaque case doit contenir exactement un chiffre.
A.
- Condition 1 : Diviseur de 42
- Condition 2 : Nombre pair
B.
- Condition 1 : Multiple de 4 et de 7
- Condition 2 : Le cube de 2
C.
- Condition 1 : Diviseur de 27
- Condition 2 : Diviseur de 15
D.
- Condition : La différence entre le chiffre des dizaines et celui des
unités est égale à 1
Les cases de la grille sont disposées selon le schéma suivant :
| E | F | G | H | |
|---|---|---|---|---|
| A | ||||
| B | ||||
| C | ||||
| D |
Pour les colonnes supplémentaires :
F.
- Condition 1 : La somme de ses chiffres vaut \(7\)
- Condition 2 : Nombre impair
G.
- Condition : Le produit de ses chiffres vaut \(12\)
H.
- Condition 1 : Multiple de 11
- Condition 2 : Nombre de diviseurs égal à \(4\)
A.
- Condition : Carré parfait
B.
- Condition : Premier multiple de 7 supérieur à \(1500\)
C.
- Condition : Formé des quatre premiers nombres premiers
D.
- Condition : Multiple de \(154\)
E.
- Condition : Suite décroissante de chiffres
F.
- Condition : Palindrome
G.
- Condition : Puissance de 3
H.
- Condition : Construit uniquement de chiffres impairs, non nuls
La grille se présente ainsi :
| E | F | G | H | |
|---|---|---|---|---|
| A | ||||
| B | ||||
| C | ||||
| D |
Remarque : Un palindrome est un nombre qui se lit de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche (par exemple, \(3443\) ou \(7557\)).
Première grille
• Lignes : A = 6, B = 8, C = 3, D = 21
• Colonnes : F = 2113, G = 1134, H = 1133
Deuxième grille
• Lignes : A = 64, B = 1505, C = 2357, D = 1540
• Colonnes : E = 8765, F = 1221, G = 2187, H = 7531
Voici une solution complète qui détaille la méthode de réflexion pour chacune des grilles. Dans cet exercice, on doit placer dans certaines cases (lues soit horizontalement pour les lignes, soit verticalement pour certaines colonnes dites « supplémentaires ») un nombre dont les chiffres sont écrits un par case. Autrement dit, on devra « lire » le nombre en prenant le chiffre de chaque ligne (ou colonne) dans l’ordre indiqué.
On propose ici une solution dont les raisonnements sont les suivants.
La grille se présente sous la forme suivante (lignes A, B, C, D et colonnes E, F, G, H) et on précise que les conditions horizontales (pour A, B, C et D) s’appliquent aux nombres obtenus en lisant la ou les cases assignées à la ligne (nous noterons ici la solution de la « ligne » par le nombre inscrit dans la case « correspondant » à cette lettre). Pour les colonnes supplémentaires F, G et H, on lira verticalement, c’est‑à‑dire, en prenant les chiffres inscrits dans la case de chaque ligne de la colonne concernée, un nombre à quatre chiffres qui doit satisfaire les conditions données.
A.
Condition 1 : « Diviseur de 42 »
Condition 2 : « Nombre pair »
• Les diviseurs de 42 sont :
\[
1,\;2,\;3,\;6,\;7,\;14,\;21,\;42.
\] En ne considérant que les chiffres (c’est‑à‑dire un nombre
comportant un seul chiffre) on a les candidats : 1, 2, 3, 6 et 7.
• Parmi eux, les nombres pairs sont : 2 et 6.
Nous choisissons, par exemple, 6.
B.
Condition 1 : « Multiple de 4 et de 7 »
Condition 2 : « Le cube de 2 »
• Rappelons que le cube de 2 est :
\[
2^3 = 8.
\] • Par ailleurs, pour être à la fois multiple de 4 et de 7, un
nombre doit être multiple de leur produit (ou du plus petit commun
multiple) – c’est‑à‑dire de 28.
Or, aucun chiffre (nombre comportant une seule case) n’est multiple de
28.
Face à cette situation, la deuxième condition conduit à retenir le
nombre 8 (8 est multiple de 4 mais, en revanche, il ne
peut être multiple de 7 – c’est le compromis que l’on adopte dans cette
solution proposée).
C.
Condition 1 : « Diviseur de 27 »
Condition 2 : « Diviseur de 15 »
• Les diviseurs de 27 sont :
\[
1,\;3,\;9,\;27.
\] En ne considérant que les chiffres, on a 1, 3 et 9.
• Les diviseurs de 15 sont :
\[
1,\;3,\;5,\;15.
\] L’intersection des deux ensembles est : 1 et 3.
Nous retenons donc 3.
D.
Condition unique : « La différence entre le chiffre des dizaines et
celui des unités est égale à 1 »
Cette condition s’applique à un nombre à deux chiffres (puisqu’on parle de dizaines et d’unités). Parmi les nombres à deux chiffres possibles, il faut choisir celui dont le chiffre des dizaines moins celui des unités vaut 1. Par exemple, le nombre 21 satisfait cette contrainte puisque : \[ 2 - 1 = 1. \]
En résumé, on a obtenu pour les lignes :
\[
\textbf{A}=6,\quad \textbf{B}=8,\quad \textbf{C}=3,\quad \textbf{D}=21.
\]
Les trois colonnes F, G et H sont lues verticalement (c’est‑à‑dire en prenant la case correspondante de chaque ligne A, B, C et D pour composer un nombre à quatre chiffres).
F.
Conditions :
– La somme de ses chiffres vaut \(7\)
– Le nombre est impair
Pour chercher une répartition en quatre chiffres \(a,b,c,d\) telle que
\[
a+b+c+d=7,
\] et que le dernier chiffre \(d\) (l’unité) soit impair, on peut par
exemple poser : - \(a=2,\; b=1,\; c=1,\;
d=3\)
puisque \(2+1+1+3=7\) et le dernier
chiffre 3 est impair.
On obtient ainsi pour la colonne F le nombre 2113.
G.
Condition : « Le produit de ses chiffres vaut 12 »
Nous cherchons quatre chiffres \(a,b,c,d\) vérifiant
\[
a\times b\times c\times d = 12.
\] Une répartition possible est
\[
1\times 1\times 3\times 4 = 12.
\] Par exemple, on peut inscrire dans la colonne G, de haut en
bas, les chiffres 1, 1, 3 puis 4. On obtient ainsi :
1134.
H.
Conditions :
– Le nombre (lire verticalement sur 4 cases) est un multiple de \(11\)
– Il possède exactement \(4\)
diviseurs
Pour qu’un nombre ait exactement 4 diviseurs, il doit être égal au
produit de deux nombres premiers distincts. De plus, comme le nombre
doit être multiple de 11, on peut l’écrire sous la forme
\[
11 \times q,
\] avec \(q\) premier. Par
exemple, en choisissant \(q=103\) (qui
est premier), on obtient \[
11\times 103 = 1133.
\] Les diviseurs de 1133 sont : \(1,\;11,\;103,\;1133\). On a donc exactement
4 diviseurs.
Ainsi, la colonne H est 1133.
Pour la première grille, nous avons donc la répartition suivante :
Dans cette grille, la lecture se fait de manière similaire (chaque ligne forme un nombre à partir de ses cases et, pour certaines colonnes, on lit verticalement un nombre à 4 chiffres). On doit maintenant satisfaire les conditions suivantes.
A.
Condition : « Carré parfait »
Parmi les carrés parfaits à deux chiffres (par exemple \(16,25,36,49,64,81\)), on peut choisir 64 (puisque \(8^2=64\)).
B.
Condition : « Premier multiple de 7 supérieur à \(1500\) »
Pour trouver ce multiple, on divise \(1500\) par 7 : \[ 1500\div 7\approx214,28. \] Le premier entier supérieur est \(215\), ce qui donne \[ 215\times 7=1505. \] On retient donc 1505.
C.
Condition : « Formé des quatre premiers nombres premiers »
Les quatre premiers nombres premiers sont : \(2,\;3,\;5,\;7\). Les disposer côte à côte donne le nombre 2357.
D.
Condition : « Multiple de \(154\) »
On peut choisir un multiple facile, par exemple \(1540\) qui s’écrit \(154\times 10\). Ainsi, on prend 1540.
Les réponses horizontales de la deuxième grille sont donc
:
\[
\textbf{A}=64,\quad \textbf{B}=1505,\quad \textbf{C}=2357,\quad
\textbf{D}=1540.
\]
Les colonnes ici sont indiquées par les lettres E, F, G et H (celles qui n’ont pas de condition horizontale).
E.
Condition : « Suite décroissante de chiffres »
On cherche un nombre à 4 chiffres dont les chiffres décroissent de gauche à droite. Par exemple, en utilisant 8, 7, 6, 5 (dans l’ordre), on obtient 8765.
F.
Condition : « Palindrome »
Un nombre palindrome se lit de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche. Parmi les nombres à 4 chiffres possible, on peut choisir par exemple 1221.
G.
Condition : « Puissance de 3 »
Il s’agit de choisir une puissance de 3 qui donne un nombre à 4
chiffres. On vérifie :
\[
3^6=729\quad (\text{3 chiffres}),\qquad 3^7=2187\quad (\text{4
chiffres}).
\] On retient donc 2187.
H.
Condition : « Construit uniquement de chiffres impairs, non nuls »
Ici, il faut composer un nombre à 4 chiffres où chacun des chiffres est impair et différent de 0 (les chiffres possibles étant \(1,3,5,7,9\)). Une solution possible est d’utiliser les chiffres 7, 5, 3 et 1 dans l’ordre donné, ce qui donne 7531.
Pour la deuxième grille, nous avons donc :
Première grille :
Lignes (lecture horizontale) :
\(\displaystyle A=6,\quad B=8,\quad C=3,\quad
D=21.\)
Colonnes supplémentaires (lecture verticale)
:
\(\displaystyle F=2113,\quad G=1134,\quad
H=1133.\)
Deuxième grille :
Lignes :
\(\displaystyle A=64,\quad B=1505,\quad
C=2357,\quad D=1540.\)
Colonnes :
\(\displaystyle E=8765,\quad F=1221,\quad
G=2187,\quad H=7531.\)
Cette correction vous donne ainsi toutes les clés pour comprendre comment satisfaire chacune des conditions et compléter les grilles proposées.
Bonne réflexion !