Étudiez la véracité de chacune des affirmations suivantes et justifiez vos réponses :
Le carré d’un nombre naturel est-il toujours supérieur au nombre lui-même ?
Existe-t-il un nombre naturel pair qui soit égal à la somme de ses diviseurs strictement inférieurs à lui ?
Pour deux nombres entiers consécutifs, leur plus grand commun diviseur (pgcd) est-il égal à 1 ?
Si un nombre \(n\) est inférieur à 5, est-il vrai que \(n^3 < 125\) ?
Existe-t-il un carré parfait qui, diminué de 3, donne un cube parfait ?
Réponses : a) Faux, b) Oui, c) Vrai, d) Vrai, e) Oui.
Voici la correction détaillée de chaque affirmation :
Étude :
Soit \(n\) un nombre naturel.
Cas \(n = 0\)
:
\[
0^2 = 0.
\] On obtient ainsi \(0^2 = 0\),
ce qui est égal à \(n\) et non
strictement supérieur.
Cas \(n = 1\)
:
\[
1^2 = 1.
\] Là encore, le carré vaut exactement \(n\).
Cas \(n \geq 2\)
:
Pour \(n = 2\) par exemple :
\[
2^2 = 4 \quad \text{et} \quad 4 > 2.
\] Plus généralement, pour \(n \geq
2\) on a : \[
n^2 - n = n(n - 1) \geq 2 \times 1 = 2 > 0,
\] ce qui montre que \(n^2 >
n\).
Conclusion :
L’affirmation « le carré d’un nombre naturel est toujours supérieur au
nombre lui-même » est fausse car pour \(n = 0\) et \(n =
1\) on a \(n^2 = n\) et non une
inégalité stricte.
Étude :
Un tel nombre est appelé nombre parfait. Il est défini
par le fait qu’il est égal à la somme de l’ensemble de ses diviseurs
strictement inférieurs à lui.
Conclusion :
Il existe bien un nombre naturel pair (ici \(6\)) égal à la somme de ses diviseurs
strictement inférieurs. La réponse est donc oui.
Étude :
Soient deux entiers consécutifs \(n\)
et \(n+1\).
Conclusion :
Le plus grand commun diviseur de deux entiers consécutifs est toujours
\(1\). Ainsi, l’affirmation est
vraie.
Étude :
On sait que la fonction \(f(n) = n^3\)
est strictement croissante lorsque \(n\) est un nombre réel. On a : \[
125 = 5^3.
\] Donc, pour tout nombre \(n <
5\) : \[
n^3 < 5^3 = 125.
\]
Conclusion :
Si \(n < 5\), alors \(n^3 < 125\) est toujours vrai.
L’affirmation est vraie.
Étude :
Nous cherchons des entiers \(m\) et
\(p\) tels que : \[
m^2 - 3 = p^3.
\] Nous pouvons essayer quelques valeurs pour \(p\) :
Cas \(p = 1\)
:
La relation devient : \[
m^2 - 3 = 1 \quad \Rightarrow \quad m^2 = 4.
\] On obtient \(m = 2\) (puisque
\(2^2 = 4\)).
Ainsi, \(2^2 - 3 = 4 - 3 = 1 =
1^3\).
D’autres valeurs peuvent être examinées, mais l’existence d’une solution suffit.
Conclusion :
Il existe bien un carré parfait (ici \(4\)) qui, diminué de 3, donne un cube
parfait (ici \(1\)). La réponse est
oui.
Cette correction détaillée explique pas à pas la démarche pour chacune des affirmations.