Exercice 6

Étudiez la véracité de chacune des affirmations suivantes et justifiez vos réponses :

  1. Le carré d’un nombre naturel est-il toujours supérieur au nombre lui-même ?

  2. Existe-t-il un nombre naturel pair qui soit égal à la somme de ses diviseurs strictement inférieurs à lui ?

  3. Pour deux nombres entiers consécutifs, leur plus grand commun diviseur (pgcd) est-il égal à 1 ?

  4. Si un nombre \(n\) est inférieur à 5, est-il vrai que \(n^3 < 125\) ?

  5. Existe-t-il un carré parfait qui, diminué de 3, donne un cube parfait ?

Réponse

Réponses : a) Faux, b) Oui, c) Vrai, d) Vrai, e) Oui.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque affirmation :


a) Le carré d’un nombre naturel est-il toujours supérieur au nombre lui-même ?

Étude :
Soit \(n\) un nombre naturel.

  1. Cas \(n = 0\) :
    \[ 0^2 = 0. \] On obtient ainsi \(0^2 = 0\), ce qui est égal à \(n\) et non strictement supérieur.

  2. Cas \(n = 1\) :
    \[ 1^2 = 1. \] Là encore, le carré vaut exactement \(n\).

  3. Cas \(n \geq 2\) :
    Pour \(n = 2\) par exemple :
    \[ 2^2 = 4 \quad \text{et} \quad 4 > 2. \] Plus généralement, pour \(n \geq 2\) on a : \[ n^2 - n = n(n - 1) \geq 2 \times 1 = 2 > 0, \] ce qui montre que \(n^2 > n\).

Conclusion :
L’affirmation « le carré d’un nombre naturel est toujours supérieur au nombre lui-même » est fausse car pour \(n = 0\) et \(n = 1\) on a \(n^2 = n\) et non une inégalité stricte.


b) Existe-t-il un nombre naturel pair qui soit égal à la somme de ses diviseurs strictement inférieurs à lui ?

Étude :
Un tel nombre est appelé nombre parfait. Il est défini par le fait qu’il est égal à la somme de l’ensemble de ses diviseurs strictement inférieurs à lui.

Conclusion :
Il existe bien un nombre naturel pair (ici \(6\)) égal à la somme de ses diviseurs strictement inférieurs. La réponse est donc oui.


c) Pour deux nombres entiers consécutifs, leur plus grand commun diviseur (pgcd) est-il égal à 1 ?

Étude :
Soient deux entiers consécutifs \(n\) et \(n+1\).

Conclusion :
Le plus grand commun diviseur de deux entiers consécutifs est toujours \(1\). Ainsi, l’affirmation est vraie.


d) Si un nombre \(n\) est inférieur à 5, est-il vrai que \(n^3 < 125\) ?

Étude :
On sait que la fonction \(f(n) = n^3\) est strictement croissante lorsque \(n\) est un nombre réel. On a : \[ 125 = 5^3. \] Donc, pour tout nombre \(n < 5\) : \[ n^3 < 5^3 = 125. \]

Conclusion :
Si \(n < 5\), alors \(n^3 < 125\) est toujours vrai. L’affirmation est vraie.


e) Existe-t-il un carré parfait qui, diminué de 3, donne un cube parfait ?

Étude :
Nous cherchons des entiers \(m\) et \(p\) tels que : \[ m^2 - 3 = p^3. \] Nous pouvons essayer quelques valeurs pour \(p\) :

Conclusion :
Il existe bien un carré parfait (ici \(4\)) qui, diminué de 3, donne un cube parfait (ici \(1\)). La réponse est oui.


Résumé des réponses
  1. Faux
  2. Oui
  3. Vrai
  4. Vrai
  5. Oui

Cette correction détaillée explique pas à pas la démarche pour chacune des affirmations.

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