Exercice 5

latex Les explorateurs de l’Arche cherchent à ouvrir le coffre-fort du musée d’Antiquités d’Euremont. La combinaison du coffre est une suite croissante de trois chiffres non nuls. On sait que :

Déterminez la combinaison du coffre.

Réponse

La combinaison du coffre est 367.

Corrigé détaillé

Nous cherchons trois chiffres non nuls \(a\), \(b\) et \(c\) satisfaisant les conditions suivantes :

  1. Ils forment une suite strictement croissante, donc \[ 1 \le a < b < c \le 9. \]
  2. Leur somme est égale à \(16\) : \[ a + b + c = 16. \]
  3. Le produit de deux d’entre eux, augmenté du troisième, est un carré parfait. Cela signifie qu’il existe un choix parmi les trois nombres tel que l’opération suivante donne un carré parfait. Par exemple, il peut s’agir de : \[ a \times b + c \quad \text{ou} \quad a \times c + b \quad \text{ou} \quad b \times c + a. \]

Nous allons résoudre ce problème étape par étape.


Étape 1 : Trouver toutes les combinaisons de trois chiffres dont la somme est \(16\)

Les chiffres étant compris entre \(1\) et \(9\) et en ordre croissant, nous recherchons toutes les triplets \((a, b, c)\) qui satisfont \(a+b+c=16\).

Pour cela, nous procédons par essais raisonnés. Par exemple :

Ainsi, les combinaisons possibles (en respectant \(a < b < c\)) sont : \[ (1,6,9),\quad (1,7,8),\quad (2,5,9),\quad (2,6,8),\quad (3,4,9),\quad (3,5,8),\quad (3,6,7),\quad (4,5,7). \]


Étape 2 : Vérifier la condition du carré parfait

Pour chaque triplet, nous vérifions s’il existe une opération parmi : \[ a \times b + c,\quad a \times c + b,\quad b \times c + a \] qui donne un carré parfait (c’est-à-dire le carré d’un entier).

Nous allons tester chaque triplet :

  1. Triplet \((1,6,9)\) :

    • \(1 \times 6 + 9 = 6 + 9 = 15\)  (\(15\) n’est pas \(n^2\))
    • \(1 \times 9 + 6 = 9 + 6 = 15\)
    • \(6 \times 9 + 1 = 54 + 1 = 55\)

    Aucune des sommes n’est un carré parfait.

  2. Triplet \((1,7,8)\) :

    • \(1 \times 7 + 8 = 7 + 8 = 15\)
    • \(1 \times 8 + 7 = 8 + 7 = 15\)
    • \(7 \times 8 + 1 = 56 + 1 = 57\)

    Aucune des sommes n’est un carré parfait.

  3. Triplet \((2,5,9)\) :

    • \(2 \times 5 + 9 = 10 + 9 = 19\)
    • \(2 \times 9 + 5 = 18 + 5 = 23\)
    • \(5 \times 9 + 2 = 45 + 2 = 47\)

    Aucun résultat n’est un carré parfait.

  4. Triplet \((2,6,8)\) :

    • \(2 \times 6 + 8 = 12 + 8 = 20\)
    • \(2 \times 8 + 6 = 16 + 6 = 22\)
    • \(6 \times 8 + 2 = 48 + 2 = 50\)

    Aucun résultat n’est un carré parfait.

  5. Triplet \((3,4,9)\) :

    • \(3 \times 4 + 9 = 12 + 9 = 21\)
    • \(3 \times 9 + 4 = 27 + 4 = 31\)
    • \(4 \times 9 + 3 = 36 + 3 = 39\)

    Aucun résultat n’est un carré parfait.

  6. Triplet \((3,5,8)\) :

    • \(3 \times 5 + 8 = 15 + 8 = 23\)
    • \(3 \times 8 + 5 = 24 + 5 = 29\)
    • \(5 \times 8 + 3 = 40 + 3 = 43\)

    Aucun résultat n’est un carré parfait.

  7. Triplet \((3,6,7)\) :

    • \(3 \times 6 + 7 = 18 + 7 = 25\)  (\(25 = 5^2\), c’est un carré parfait)
    • \(3 \times 7 + 6 = 21 + 6 = 27\)  (n’est pas un carré parfait)
    • \(6 \times 7 + 3 = 42 + 3 = 45\)  (n’est pas un carré parfait)

    Ici, la première opération donne bien un carré parfait.

  8. Triplet \((4,5,7)\) :

    • \(4 \times 5 + 7 = 20 + 7 = 27\)
    • \(4 \times 7 + 5 = 28 + 5 = 33\)
    • \(5 \times 7 + 4 = 35 + 4 = 39\)

    Aucun résultat n’est un carré parfait.


Étape 3 : Conclusion

Le seul triplet qui satisfait toutes les conditions est \((3,6,7)\) avec la vérification que : \[ 3 \times 6 + 7 = 25, \] et \(25\) est le carré de \(5\).

La combinaison du coffre, lue de manière croissante, est donc :

\[ \boxed{367}. \]


Réponse finale

La combinaison du coffre est \(\mathbf{367}\).

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