Exercice 5
latex Les explorateurs de l’Arche cherchent à ouvrir le coffre-fort du
musée d’Antiquités d’Euremont. La combinaison du coffre est une suite
croissante de trois chiffres non nuls. On sait que :
Déterminez la combinaison du coffre.
Réponse
La combinaison du coffre est 367.
Corrigé détaillé
Nous cherchons trois chiffres non nuls \(a\), \(b\)
et \(c\) satisfaisant les conditions
suivantes :
- Ils forment une suite strictement croissante, donc \[
1 \le a < b < c \le 9.
\]
- Leur somme est égale à \(16\) :
\[
a + b + c = 16.
\]
- Le produit de deux d’entre eux, augmenté du troisième, est un carré
parfait. Cela signifie qu’il existe un choix parmi les trois nombres tel
que l’opération suivante donne un carré parfait. Par exemple, il peut
s’agir de : \[
a \times b + c \quad \text{ou} \quad a \times c + b \quad \text{ou}
\quad b \times c + a.
\]
Nous allons résoudre ce problème étape par étape.
Étape
1 : Trouver toutes les combinaisons de trois chiffres dont la somme est
\(16\)
Les chiffres étant compris entre \(1\) et \(9\) et en ordre croissant, nous recherchons
toutes les triplets \((a, b, c)\) qui
satisfont \(a+b+c=16\).
Pour cela, nous procédons par essais raisonnés. Par exemple :
- Prenons \(a = 1\) :
- Si \(b = 6\), alors \(c = 16 - 1 - 6 = 9\) (puisque \(1 < 6 < 9\) et \(c \le 9\)) → on obtient \((1,6,9)\).
- Si \(b = 7\), alors \(c = 16 - 1 - 7 = 8\) → on obtient \((1,7,8)\).
- Prenons \(a = 2\) :
- Si \(b = 5\), alors \(c = 16 - 2 - 5 = 9\) → \((2,5,9)\).
- Si \(b = 6\), alors \(c = 16 - 2 - 6 = 8\) → \((2,6,8)\).
- Prenons \(a = 3\) :
- Si \(b = 4\), alors \(c = 16 - 3 - 4 = 9\) → \((3,4,9)\).
- Si \(b = 5\), alors \(c = 16 - 3 - 5 = 8\) → \((3,5,8)\).
- Si \(b = 6\), alors \(c = 16 - 3 - 6 = 7\) → \((3,6,7)\).
- Prenons \(a = 4\) :
- Si \(b = 5\), alors \(c = 16 - 4 - 5 = 7\) → \((4,5,7)\).
Ainsi, les combinaisons possibles (en respectant \(a < b < c\)) sont : \[
(1,6,9),\quad (1,7,8),\quad (2,5,9),\quad (2,6,8),\quad (3,4,9),\quad
(3,5,8),\quad (3,6,7),\quad (4,5,7).
\]
Étape 2 :
Vérifier la condition du carré parfait
Pour chaque triplet, nous vérifions s’il existe une opération parmi :
\[
a \times b + c,\quad a \times c + b,\quad b \times c + a
\] qui donne un carré parfait (c’est-à-dire le carré d’un
entier).
Nous allons tester chaque triplet :
Triplet \((1,6,9)\)
:
- \(1 \times 6 + 9 = 6 + 9 =
15\) (\(15\) n’est pas \(n^2\))
- \(1 \times 9 + 6 = 9 + 6 =
15\)
- \(6 \times 9 + 1 = 54 + 1 =
55\)
Aucune des sommes n’est un carré parfait.
Triplet \((1,7,8)\)
:
- \(1 \times 7 + 8 = 7 + 8 =
15\)
- \(1 \times 8 + 7 = 8 + 7 =
15\)
- \(7 \times 8 + 1 = 56 + 1 =
57\)
Aucune des sommes n’est un carré parfait.
Triplet \((2,5,9)\)
:
- \(2 \times 5 + 9 = 10 + 9 =
19\)
- \(2 \times 9 + 5 = 18 + 5 =
23\)
- \(5 \times 9 + 2 = 45 + 2 =
47\)
Aucun résultat n’est un carré parfait.
Triplet \((2,6,8)\)
:
- \(2 \times 6 + 8 = 12 + 8 =
20\)
- \(2 \times 8 + 6 = 16 + 6 =
22\)
- \(6 \times 8 + 2 = 48 + 2 =
50\)
Aucun résultat n’est un carré parfait.
Triplet \((3,4,9)\)
:
- \(3 \times 4 + 9 = 12 + 9 =
21\)
- \(3 \times 9 + 4 = 27 + 4 =
31\)
- \(4 \times 9 + 3 = 36 + 3 =
39\)
Aucun résultat n’est un carré parfait.
Triplet \((3,5,8)\)
:
- \(3 \times 5 + 8 = 15 + 8 =
23\)
- \(3 \times 8 + 5 = 24 + 5 =
29\)
- \(5 \times 8 + 3 = 40 + 3 =
43\)
Aucun résultat n’est un carré parfait.
Triplet \((3,6,7)\)
:
- \(3 \times 6 + 7 = 18 + 7 =
25\) (\(25 = 5^2\), c’est un
carré parfait)
- \(3 \times 7 + 6 = 21 + 6 =
27\) (n’est pas un carré parfait)
- \(6 \times 7 + 3 = 42 + 3 =
45\) (n’est pas un carré parfait)
Ici, la première opération donne bien un carré parfait.
Triplet \((4,5,7)\)
:
- \(4 \times 5 + 7 = 20 + 7 =
27\)
- \(4 \times 7 + 5 = 28 + 5 =
33\)
- \(5 \times 7 + 4 = 35 + 4 =
39\)
Aucun résultat n’est un carré parfait.
Étape 3 : Conclusion
Le seul triplet qui satisfait toutes les conditions est \((3,6,7)\) avec la vérification que : \[
3 \times 6 + 7 = 25,
\] et \(25\) est le carré de
\(5\).
La combinaison du coffre, lue de manière croissante, est donc :
\[
\boxed{367}.
\]
Réponse finale
La combinaison du coffre est \(\mathbf{367}\).