Prolongez chacune des suites de nombres suivantes et trouvez, pour chaque suite, une règle permettant de calculer rapidement le terme numéro \(2013\).
\(2,\, 5,\, 10,\, 17,\, 26,\, \ldots\)
\(16,\, 25,\, 36,\, 49,\, \ldots\)
\(8,\, 27,\, 64,\, 125,\, \ldots\)
\(5,\, 12,\, 21,\, 32,\, \ldots\)
\(6,\, 15,\, 28,\, 45,\, 66,\, \ldots\)
Voici la correction détaillée pour chacune des suites :
Étape 1 : Observer la suite
Regardons les termes donnés :
Étape 2 : Identifier un éventuel modèle
On teste l’hypothèse \(a_n = n^2 + 1\) :
La règle est confirmée.
Conclusion :
La formule générale est \[ a_n = n^2 + 1. \] Le terme numéro \(2013\) est donc \[ a_{2013} = 2013^2 + 1. \]
Étape 1 : Décomposer les nombres
On reconnaît ces nombres comme des carrés parfaits : \[ 16 = 4^2, \quad 25 = 5^2, \quad 36 = 6^2, \quad 49 = 7^2. \]
Étape 2 : Trouver la règle
Le premier terme correspond à \(4^2\), donc pour le terme \(n\), on a : \[ a_n = (n + 3)^2. \]
Conclusion :
La formule générale est \[ a_n = (n+3)^2. \] Ainsi, \[ a_{2013} = (2013 + 3)^2 = 2016^2. \]
Étape 1 : Observer les termes
On remarque : \[ 8 = 2^3,\quad 27 = 3^3,\quad 64 = 4^3,\quad 125 = 5^3. \]
Étape 2 : Formuler la règle
Le pattern suggère que le terme général est : \[ a_n = (n+1)^3. \]
Conclusion :
La formule générale est \[ a_n = (n+1)^3. \] On a donc \[ a_{2013} = (2013 + 1)^3 = 2014^3. \]
Étape 1 : Calculer les différences entre termes consécutifs
Les incréments augmentent de 2 à chaque fois, ce qui indique une suite de type quadratique.
Étape 2 : Supposer une formule du second degré
On suppose \[ a_n = an^2 + bn + c. \] On utilise les trois premiers termes pour déterminer \(a\), \(b\) et \(c\) :
Pour \(n=1\) : \[ a + b + c = 5 \quad (1) \] Pour \(n=2\) : \[ 4a + 2b + c = 12 \quad (2) \] Pour \(n=3\) : \[ 9a + 3b + c = 21 \quad (3) \]
Étape 3 : Résoudre le système
Soustrayons (1) de (2) : \[ (4a + 2b + c) - (a + b + c) = 12 - 5 \quad \Longrightarrow \quad 3a + b = 7 \quad (A) \]
Soustrayons (2) de (3) : \[ (9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 21 - 12 \quad \Longrightarrow \quad 5a + b = 9 \quad (B) \]
Soustrayons (A) de (B) : \[ (5a + b) - (3a + b) = 9 - 7 \quad \Longrightarrow \quad 2a = 2 \quad \Longrightarrow \quad a = 1. \]
Utilisons la valeur de \(a\) dans (A) : \[ 3(1) + b = 7 \quad \Longrightarrow \quad b = 4. \]
Enfin, déterminons \(c\) à partir de (1) : \[ 1 + 4 + c = 5 \quad \Longrightarrow \quad c = 0. \]
Conclusion :
La formule générale est \[ a_n = n^2 + 4n. \] Le terme numéro \(2013\) est \[ a_{2013} = 2013^2 + 4 \times 2013. \]
Étape 1 : Calculer les différences entre termes consécutifs
Les différences augmentent de 4 à chaque fois (de 9 à 13, puis 17, puis 21), indiquant encore une suite quadratique.
Étape 2 : Supposer une formule du second degré
Soit \[ a_n = an^2 + bn + c. \] Utilisons les trois premiers termes :
Pour \(n=1\) : \[ a + b + c = 6 \quad (1) \] Pour \(n=2\) : \[ 4a + 2b + c = 15 \quad (2) \] Pour \(n=3\) : \[ 9a + 3b + c = 28 \quad (3) \]
Étape 3 : Résoudre le système
Soustrayons (1) de (2) : \[ (4a + 2b + c) - (a + b + c) = 15 - 6 \quad \Longrightarrow \quad 3a + b = 9 \quad (A) \]
Soustrayons (2) de (3) : \[ (9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 28 - 15 \quad \Longrightarrow \quad 5a + b = 13 \quad (B) \]
Soustrayons (A) de (B) : \[ (5a + b) - (3a + b) = 13 - 9 \quad \Longrightarrow \quad 2a = 4 \quad \Longrightarrow \quad a = 2. \]
Utilisons la valeur de \(a\) dans (A) : \[ 3(2) + b = 9 \quad \Longrightarrow \quad 6 + b = 9 \quad \Longrightarrow \quad b = 3. \]
Enfin, de (1) : \[ 2 + 3 + c = 6 \quad \Longrightarrow \quad c = 1. \]
Conclusion :
La formule générale est \[ a_n = 2n^2 + 3n + 1. \] Le terme numéro \(2013\) est donc \[ a_{2013} = 2 \times 2013^2 + 3 \times 2013 + 1. \]
\(\displaystyle a_{2013} = 2013^2 + 1\)
\(\displaystyle a_{2013} = 2016^2\)
\(\displaystyle a_{2013} = 2014^3\)
\(\displaystyle a_{2013} = 2013^2 + 4 \times 2013\)
\(\displaystyle a_{2013} = 2 \times 2013^2 + 3 \times 2013 + 1\)
Chacune de ces étapes vous permet de comprendre comment trouver la formule générale et d’appliquer celle-ci pour calculer rapidement le terme numéro \(2013\).