Exercices corrigés - Nombres naturels (calculs et problèmes) - 10e
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Exercice 1
Prolongez chacune des suites de nombres suivantes et trouvez, pour chaque suite, une règle permettant de calculer rapidement le terme numéro \(2013\).
\(2,\, 5,\, 10,\, 17,\, 26,\, \ldots\)
\(16,\, 25,\, 36,\, 49,\, \ldots\)
\(8,\, 27,\, 64,\, 125,\, \ldots\)
\(5,\, 12,\, 21,\, 32,\, \ldots\)
\(6,\, 15,\, 28,\, 45,\, 66,\, \ldots\)
Exercice 2
Exercice
On considère un recueil de 60 pages contenant chacune \(1200\) caractères.
Calculer le nombre de pages économisées si la mise en page avait permis d’imprimer \(1500\) caractères par page.
Exercice 3
Exercice
Les Lefèvre débutent leurs vacances de printemps dans une belle réserve naturelle. Ils prévoient de randonner pendant 2 jours, de passer 3 jours en ville pour découvrir la culture locale, puis de reprendre les sentiers pendant 5 jours.
En famille (les deux parents, Mathieu, étudiant, et Emma, 10 ans), ils hésitent entre deux solutions pour les abonnements aux sentiers balisés :
- Pour chacun, souscrire un abonnement de 10 jours consécutifs pour couvrir toute la durée de leurs vacances.
- Pour chacun, opter pour un abonnement de 2 jours suivi d’un abonnement de 5 jours consécutifs, correspondant aux jours de randonnée.
Les tarifs des abonnements selon la durée et le profil (adultes, étudiants et enfants) sont donnés dans le tableau suivant :
| Durée | Adultes (CHF) | Étudiants (CHF) | Enfants (CHF) |
|---|---|---|---|
| 1 jour | 65 | 52 | 33 |
| 2 jours | 125 | 100 | 65 |
| 3 jours | 185 | 150 | 98 |
| 4 jours | 240 | 195 | 128 |
| 5 jours | 290 | 235 | 155 |
| 6 jours | 335 | 270 | 180 |
| 7 jours | 375 | 305 | 200 |
| 8 jours | 410 | 335 | 220 |
| 9 jours | 440 | 360 | 235 |
| 10 jours | 465 | 380 | 250 |
| 11 jours | 490 | 400 | 265 |
| 12 jours | 510 | 415 | 280 |
| 13 jours | 535 | 430 | 290 |
| 14 jours | 555 | 445 | 300 |
| 15 jours | 575 | 460 | 310 |
| 16 jours | 595 | 475 | 320 |
| 17 jours | 615 | 490 | 330 |
| 18 jours | 635 | 505 | 340 |
| 19 jours | 655 | 520 | 350 |
| 20 jours | 675 | 535 | 360 |
| 21 jours | 695 | 550 | 370 |
Aidez-les à déterminer quelle option d’abonnement est la plus avantageuse pour leur famille.
Exercice 4
Question : Réécris ces calculs de manière plus simple sans les effectuer.
Exprime l’addition suivante sous forme d’un produit : \[48 + 48 + 48 + 48 + 48 + 48 + 48.\]
Exprime la multiplication suivante sous forme d’une puissance : \[6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6.\]
Exercice 5
latex Les explorateurs de l’Arche cherchent à ouvrir le coffre-fort du musée d’Antiquités d’Euremont. La combinaison du coffre est une suite croissante de trois chiffres non nuls. On sait que :Déterminez la combinaison du coffre.
Exercice 6
Étudiez la véracité de chacune des affirmations suivantes et justifiez vos réponses :
Le carré d’un nombre naturel est-il toujours supérieur au nombre lui-même ?
Existe-t-il un nombre naturel pair qui soit égal à la somme de ses diviseurs strictement inférieurs à lui ?
Pour deux nombres entiers consécutifs, leur plus grand commun diviseur (pgcd) est-il égal à 1 ?
Si un nombre \(n\) est inférieur à 5, est-il vrai que \(n^3 < 125\) ?
Existe-t-il un carré parfait qui, diminué de 3, donne un cube parfait ?
Exercice 7
Exercice :
Déterminer l’altitude de la rive la plus basse du lac d’Orsay en utilisant les informations suivantes :
- Le sommet du Pic de Glace est situé à \(1200\,\mathrm{m}\) au-dessus du niveau du lac d’Orsay et à \(1750\,\mathrm{m}\) en dessous du sommet de la Pointe d’Ébène.
- Le Mont-Rouge culmine à \(1150\,\mathrm{m}\).
- Le niveau du lac d’Orsay se trouve à \(750\,\mathrm{m}\) en dessous du sommet du Mont-Rouge.
- La différence d’altitude entre la Pointe d’Ébène et la rive la plus basse du lac d’Orsay est de \(2900\,\mathrm{m}\).
Exercice 8
Question: Exercice
À l’aide des prévisions de ventes ci-dessous, estime le chiffre d’affaires mondial pour l’année 2024 sans utiliser de calculatrice ni de calcul écrit.
\[ \begin{array}{|l|c|} \hline \text{Région ou zone} & \text{Ventes en 2024 (en millions d'euros)} \\ \hline \text{Europe} & 120 \\ \hline \text{ex-Union soviétique} & 95 \\ \hline \text{Afrique} & 80 \\ \hline \text{Amérique du Nord} & 110 \\ \hline \text{Amérique latine} & 75 \\ \hline \text{Asie} & 220 \\ \hline \text{Océanie / Australie} & 35 \\ \hline \end{array} \]
Exercice 9
Soit le nombre \(2400\) affiché sur une calculatrice. Indique, pour chacun des calculs suivants, quelles touches doivent être pressées et dans quel ordre pour obtenir le résultat correspondant :
- Le quadruple de \(2400\)
- La moitié de \(2400\)
- Le quart de \(2400\)
- Les trois quarts de \(2400\)
- \(60\%\) de \(2400\)
- \(15\%\) de \(2400\)
- Le cinquième de \(2400\)
- Le triple de \(2400\)
Exercice 10
Exercice : Compléter les grilles
Chaque case doit contenir exactement un chiffre.
Première grille (compléter horizontalement)
A.
- Condition 1 : Diviseur de 42
- Condition 2 : Nombre pair
B.
- Condition 1 : Multiple de 4 et de 7
- Condition 2 : Le cube de 2
C.
- Condition 1 : Diviseur de 27
- Condition 2 : Diviseur de 15
D.
- Condition : La différence entre le chiffre des dizaines et celui des unités est égale à 1
Les cases de la grille sont disposées selon le schéma suivant :
| E | F | G | H | |
|---|---|---|---|---|
| A | ||||
| B | ||||
| C | ||||
| D |
Pour les colonnes supplémentaires :
F.
- Condition 1 : La somme de ses chiffres vaut \(7\)
- Condition 2 : Nombre impair
G.
- Condition : Le produit de ses chiffres vaut \(12\)
H.
- Condition 1 : Multiple de 11
- Condition 2 : Nombre de diviseurs égal à \(4\)
Deuxième grille
A.
- Condition : Carré parfait
B.
- Condition : Premier multiple de 7 supérieur à \(1500\)
C.
- Condition : Formé des quatre premiers nombres premiers
D.
- Condition : Multiple de \(154\)
E.
- Condition : Suite décroissante de chiffres
F.
- Condition : Palindrome
G.
- Condition : Puissance de 3
H.
- Condition : Construit uniquement de chiffres impairs, non nuls
La grille se présente ainsi :
| E | F | G | H | |
|---|---|---|---|---|
| A | ||||
| B | ||||
| C | ||||
| D |
Remarque : Un palindrome est un nombre qui se lit de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche (par exemple, \(3443\) ou \(7557\)).
Exercice 11
Calculer les expressions suivantes :
- \(24 + 59 + 6\)
- \(125 + 72 + 5\)
- \(386 + 12 + 25\)
- \(197 + 132 + 3\)
- \(29 + 225 + 11\)
- \(47 + 92 + 208\)
Exercice 12
Exercice : Calculer les expressions suivantes
- \(5 + 13 - 9 + 1\)
- \(4 - 3 + 8 - 4\)
- \(19 - 7 + 2\)
- \(35 - 27 + 13 - 4\)
- \(18 + 13 - 5 + 2\)
- \(42 - 5 + 8 - 3 - 1\)
Exercice 13
Exercice
Calcule les expressions suivantes :
- \(3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 5\)
- \(6 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5\)
- \(3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7\)
- \(6 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 10\)
- \(5 \cdot 9 \cdot 0 \cdot 2\)
- \(8 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 9\)
Exercice 14
Exercice
Calculer le produit \(ab\) pour les paires de valeurs suivantes :
- \(a = 5\) et \(b = 9\)
- \(a = 7\) et \(b = 14\)
- \(a = 23\) et \(b = 0\)
- \(a = 11\) et \(b = 8\)
- \(a = 4\) et \(b = 15\)
- \(a = 70\) et \(b = 2\)
Exercice 15
Calculer la valeur de \(a + a\) pour les valeurs suivantes :
- \(a = 11\)
- \(a = 8\)
- \(a = 90\)
- \(a = 23\)
- \(a = 15\)
- \(a = 17\)
- \(a = 32\)
- \(a = 1\)
Exercice 16
Exercice : Calcul mental à l’aide de schémas
À l’aide du croquis ci-dessous, calcule de tête le produit suivant : \[
7 \times 34
\] 
En s’appuyant sur des schémas similaires, effectue les calculs suivants :
- \(\,6 \times 65\)
- \(\,3 \times 29\)
- \(\,4 \times 47\)
- \(\,9 \times 26\)
- \(\,8 \times 22\)
- \(\,7 \times 49\)
- \(\,3 \times 35\)
- \(\,8 \times 27\)
- \(\,6 \times 61\)
- \(\,2 \times 58\)
Exercice 17
Calculer mentalement les produits suivants :
- \(3 \cdot 73\)
- \(5 \cdot 62\)
- \(7 \cdot 18\)
- \(4 \cdot 56\)
- \(6 \cdot 99\)
- \(2 \cdot 98\)
- \(5 \cdot 63\)
- \(6 \cdot 72\)
- \(3 \cdot 61\)
- \(8 \cdot 75\)
- \(5 \cdot 36\)
- \(4 \cdot 48\)
Exercice 18
Exercice : Calcul mental de produits
Calculer, mentalement, les expressions suivantes :
- \(6 \cdot 27\)
- \(36 \cdot 4\)
- \(3 \cdot 51\)
- \(68 \cdot 7\)
- \(89 \cdot 6\)
- \(2 \cdot 78\)
- \(3 \cdot 69\)
- \(72 \cdot 4\)
- \(39 \cdot 6\)
- \(6.49\)
- \(9 \cdot 37\)
- \(42 \cdot 4\)
Exercice 19
Exercice
Calcule mentalement les produits suivants :
- \(32 \times 9\)
- \(8 \times 51\)
- \(4 \times 78\)
- \(6 \times 19\)
- \(38 \times 2\)
- \(5 \times 61\)
- \(65 \times 4\)
- \(9 \times 75\)
- \(6 \times 43\)
- \(7 \times 79\)
- \(4 \times 44\)
- \(8 \times 17\)
Exercice 20
\[ \textbf{G} + \textbf{H}^2 \quad \text{signifie qu'on additionne le nombre de Gauche et le carré du nombre du Haut.} \]
Complétez le tableau suivant en recopiant et en remplissant les cases manquantes :
| H | ||
|---|---|---|
| \(\mathrm{G} + \mathrm{H}^{2}\) | 3 | 7 |
| \(\mathbf{8}\) | ||
| G | ||
| 0 |
Exercice 21
Exercice
Déterminez le nombre total de points présents sur l’ensemble des 28 pièces d’un jeu de dominos.
Exercice 22
Exercice
À partir du croquis ci-contre, calculez mentalement \[ 27 \cdot 32. \]
En utilisant des croquis similaires, effectuez mentalement les multiplications suivantes :
- \(16 \cdot 23\)
- \(25 \cdot 34\)
- \(17 \cdot 32\)
- \(31 \cdot 42\)
- \(63 \cdot 52\)
- \(44 \cdot 25\)
- \(72 \cdot 12\)
- \(23 \cdot 42\)
Exercice 23
latex Chaque case blanche doit contenir un chiffre. Complétez le tableau en respectant les indices suivants :
Horizontalement : a) Un cube.
b) Un nombre premier.
c) La somme de ses chiffres est égale à 15.
d) Un carré.
De plus, ce nombre est un multiple de 11.
Verticalement : e) Un cube.
f) \(\displaystyle \frac{7^2 \cdot 10 + 20}{3} + 2\).
g) Un nombre pair multiplié par \(7\cdot(15-2\cdot3)-17\).
h) Un nombre impair multiplié par un carré.
Exercice 24
Complétez le tableau en inscrivant un chiffre dans chaque case blanche. Les indications s’appliquent aux alignements horizontaux et verticaux, selon les critères suivants :
- a) Le chiffre correspond au cube du chiffre indiqué par (f).
- b) Le chiffre est un multiple de 7.
- c) La somme de ses chiffres est égale à 15.
- d) Le chiffre correspond au tiers du chiffre indiqué par (e).
- e) Le chiffre correspond au carré du chiffre indiqué par (a).
- f) Le chiffre est un nombre premier.
Exercice 25
Exercice
La mère a actuellement \(43\) ans et son fils \(12\) ans. Déterminez :
- L’âge de la mère lorsque le fils aura \(27\) ans.
- L’âge du fils lorsque la mère atteindra \(80\) ans.
Exercice 26
Exercice
Anne a 13 ans.
- Déterminez l’année où elle aura 47 ans.
- Calculez son âge en 2031.
Exercice 27
Exercice
Pierre a emprunté \(6340\) francs. Il effectue trois remboursements de \(1240\) francs, \(875\) francs, et \(2340\) francs. Quel est le montant qu’il doit encore rembourser ?
Exercice 28
Soit deux nombres dont la somme est \(2456\) et dont l’un est \(738\). Déterminez de combien le plus grand dépasse le plus petit.
Exercice 29
Exercice 4 :
Veuillez résoudre l’exercice présenté dans l’image ci-dessous.
Exercice 30
Exercice :
Une couturière gagne \(15\,\text{fr/h}\). Calculer son salaire mensuel si elle travaille 8 heures par jour pendant 22 jours.
Exercice 31
Exercice :
Barbara a déjà lu 120 pages d’un livre et il lui reste 80 pages à parcourir. Combien de pages lui restera-t-il à lire lorsqu’elle aura lu au total 150 pages ?
Exercice 32
Exercice
Pour tricoter un pull-over, on utilise 12 pelotes de laine à \(\, 3,25 \, \mathrm{fr}\) chacune. On estime qu’il faut 20 heures de travail rémunérées 8 fr. de l’heure pour réaliser le pull-over.
Calculer le prix de revient du pull-over.