Exercice 209

Exercice

Soit un examen qui dure \(x\) minutes. Un élève consacre un quart de son temps à résoudre le premier problème et un huitième de son temps à résoudre le deuxième problème. Il lui reste trois problèmes à résoudre.

Formuler :

1. une expression pour le nombre de minutes passées à résoudre le premier problème ;
2. une expression pour le nombre de minutes passées à résoudre les deux premiers problèmes ;
3. une expression pour le nombre de minutes restantes pour résoudre les trois derniers problèmes ;
4. une expression pour la durée moyenne, en minutes, consacrée à chacun des trois derniers problèmes.

Réponse

Réponses :
1) Premier problème : x/4 minutes.
2) Deux premiers problèmes : 3x/8 minutes.
3) Trois derniers problèmes : 5x/8 minutes.
4) Durée moyenne par problème (pour les trois derniers) : 5x/24 minutes.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée :

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Considérons que la durée totale de l’examen est \(x\) minutes.

1) Temps dédié au premier problème

L’énoncé nous indique que l’élève consacre un quart de la durée totale à résoudre le premier problème.
Mathématiquement, cela s’exprime par : \[ \frac{1}{4} \times x = \frac{x}{4} \] Donc, le temps passé sur le premier problème est \(\frac{x}{4}\) minutes.

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2) Temps dédié aux deux premiers problèmes

Pour le deuxième problème, on sait que l’élève consacre un huitième de son temps.
L’expression du temps pour le deuxième problème est : \[ \frac{1}{8} \times x = \frac{x}{8} \] Pour obtenir le temps total passé sur les deux premiers problèmes, on additionne le temps du premier et du deuxième problème : \[ \frac{x}{4} + \frac{x}{8} \] Pour réaliser cette addition, mettons les deux fractions sur le même dénominateur. Le dénominateur commun est \(8\) : \[ \frac{x}{4} = \frac{2x}{8} \] ainsi, \[ \frac{2x}{8} + \frac{x}{8} = \frac{3x}{8} \] Le temps passé à résoudre les deux premiers problèmes est donc \(\frac{3x}{8}\) minutes.

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3) Temps restant pour résoudre les trois derniers problèmes

Le temps total de l’examen est \(x\) minutes. Après avoir passé \(\frac{3x}{8}\) minutes sur les deux premiers problèmes, le temps restant se calcule en soustrayant ce temps du temps total : \[ x - \frac{3x}{8} \] Pour simplifier, exprimons \(x\) sous la forme d’une fraction ayant le même dénominateur \(8\) : \[ x = \frac{8x}{8} \] Donc, \[ \frac{8x}{8} - \frac{3x}{8} = \frac{5x}{8} \] Il reste \(\frac{5x}{8}\) minutes pour résoudre les trois derniers problèmes.

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4) Durée moyenne consacrée à chacun des trois derniers problèmes

Pour obtenir la durée moyenne par problème, on divise le temps total disponible pour ces trois derniers problèmes par le nombre de problèmes (qui est 3) : \[ \frac{\frac{5x}{8}}{3} \] Cette division se fait en multipliant par l’inverse de 3 : \[ \frac{5x}{8} \times \frac{1}{3} = \frac{5x}{24} \] La durée moyenne, en minutes, consacrée à chacun des trois derniers problèmes est \(\frac{5x}{24}\).

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Résumé des réponses

1. Temps pour le premier problème : \(\frac{x}{4}\) minutes.
   
2. Temps pour les deux premiers problèmes : \(\frac{3x}{8}\) minutes.
   
3. Temps restant pour les trois derniers problèmes : \(\frac{5x}{8}\) minutes.
   
4. Durée moyenne pour chacun des trois derniers problèmes : \(\frac{5x}{24}\) minutes.

Chaque étape a été expliquée en détail pour vous permettre de suivre le raisonnement facilement.