Exercice 207

Exercice

Simplifier chacune des fractions suivantes en considérant que \(a\) est un entier non nul :

1. \(\frac{2a}{4}\)
   
2. \(\frac{3}{6a}\)
   
3. \(\frac{a^2}{3a}\)
   
4. \(\frac{2a^2}{a}\)
   
5. \(\frac{3a}{6a^2}\)
   
6. \(\frac{2a}{2a}\)

Réponse

Les réponses sont : 1) a/2
2) 1/(2a)
3) a/3
4) 2a
5) 1/(2a)
6) 1

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice, en partant du principe que \(a\) est un entier non nul (c’est-à-dire \(a \neq 0\)).

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1) Simplifier \(\frac{2a}{4}\)

Étape 1 : Identifier un facteur commun aux deux termes.
Le numérateur \(2a\) et le dénominateur \(4\) sont divisibles par 2.

Étape 2 : Diviser le numérateur et le dénominateur par 2.
\[ \frac{2a}{4} = \frac{2a \div 2}{4 \div 2} = \frac{a}{2} \]

Résultat :
\[ \frac{a}{2} \]

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2) Simplifier \(\frac{3}{6a}\)

Étape 1 : Rechercher le facteur commun entre le numérateur et le dénominateur.
Ici, 3 est un diviseur commun de 3 et 6.

Étape 2 : Diviser le numérateur et une partie du dénominateur par 3.
\[ \frac{3}{6a} = \frac{3 \div 3}{6a \div 3} = \frac{1}{2a} \]

Résultat :
\[ \frac{1}{2a} \]

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3) Simplifier \(\frac{a^2}{3a}\)

Étape 1 : Écrire \(a^2\) comme \(a \cdot a\).
\[ \frac{a^2}{3a} = \frac{a \cdot a}{3a} \]

Étape 2 : Annuler le facteur \(a\) présent au numérateur et au dénominateur (rappel : \(a \neq 0\)).
\[ \frac{a \cdot a}{3a} = \frac{a}{3} \]

Résultat :
\[ \frac{a}{3} \]

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4) Simplifier \(\frac{2a^2}{a}\)

Étape 1 : Écrire \(a^2\) comme \(a \cdot a\).
\[ \frac{2a^2}{a} = \frac{2a \cdot a}{a} \]

Étape 2 : Annuler un facteur \(a\) présent au numérateur et au dénominateur (en utilisant encore \(a \neq 0\)).
\[ \frac{2a \cdot a}{a} = 2a \]

Résultat :
\[ 2a \]

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5) Simplifier \(\frac{3a}{6a^2}\)

Étape 1 : Remarquer que \(a^2 = a \cdot a\) et identifier un facteur commun.
\[ \frac{3a}{6a^2} = \frac{3a}{6a \cdot a} \]

Étape 2 : Annuler le facteur \(a\) présent au numérateur et au dénominateur (comme \(a \neq 0\)).
\[ \frac{3a}{6a \cdot a} = \frac{3}{6a} \]

Étape 3 : Simplifier \(\frac{3}{6}\) en divisant numérateur et dénominateur par 3.
\[ \frac{3}{6a} = \frac{1}{2a} \]

Résultat :
\[ \frac{1}{2a} \]

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6) Simplifier \(\frac{2a}{2a}\)

Étape 1 : Observer que le numérateur et le dénominateur sont identiques.
\[ \frac{2a}{2a} = 1 \]

Remarque : On utilise ici le fait que \(a \neq 0\) pour garantir que \(2a\) n’est pas nul.

Résultat :
\[ 1 \]

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Récapitulatif des résultats

1. \(\frac{2a}{4} = \frac{a}{2}\)
   
2. \(\frac{3}{6a} = \frac{1}{2a}\)
   
3. \(\frac{a^2}{3a} = \frac{a}{3}\)
   
4. \(\frac{2a^2}{a} = 2a\)
   
5. \(\frac{3a}{6a^2} = \frac{1}{2a}\)
   
6. \(\frac{2a}{2a} = 1\)

Cette démarche pas à pas montre comment repérer et annuler les facteurs communs pour simplifier chaque fraction en respectant les conditions posées.