Les Égyptiens n’utilisaient que des fractions unitaires (numérateur égal à 1), à l’exception de \(\frac{2}{3}\). Toute autre fraction devait être décomposée en une somme de fractions unitaires aux dénominateurs différents.
Le papyrus de Rhind décrit la méthode pour calculer les \(\frac{2}{3}\) d’une fraction unitaire. Par exemple, pour déterminer \[ \frac{2}{3} \text{ de } \frac{1}{5}, \] on multiplie le dénominateur par 2 puis par 6, ce qui s’écrit dans notre notation : \[ \frac{2}{3} \text{ de } \frac{1}{5} = \frac{1}{2\cdot 5} + \frac{1}{6\cdot 5} = \frac{1}{10} + \frac{1}{30}. \]
Appliquez cette méthode pour calculer :
\(\displaystyle \frac{2}{3}\) de \(\displaystyle \frac{1}{7}\)
\(\displaystyle \frac{2}{3}\) de \(\displaystyle \frac{1}{15}+\frac{1}{75}\)
\(\displaystyle \frac{2}{3}\) de \(\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{9}\)
Réponses : 1) 1/14 + 1/42
2) 1/30 + 1/90 + 1/150 + 1/450
3) 1/6 + 1/9 + 1/54
Nous allons appliquer la méthode décrite sur le papyrus de Rhind pour calculer « \(\frac{2}{3}\) de … ». Cette méthode consiste à, pour une fraction unitaire \(\frac{1}{d}\), multiplier le dénominateur par 2 puis par 6, ce qui nous donne la décomposition :
\[ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{d} = \frac{1}{2d} + \frac{1}{6d}. \]
Cette propriété se propage par linéarité lorsqu’on a une somme de fractions.
Ici, le dénominateur est \(7\). En multipliant par 2 puis par 6, nous obtenons :
\[ \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{2\times7}+\frac{1}{6\times7} = \frac{1}{14}+\frac{1}{42}. \]
Réponse 1 : \(\displaystyle \frac{1}{14} + \frac{1}{42}\).
La méthode est linéaire, c’est-à-dire qu’on peut appliquer l’opération à chacune des fractions séparément.
Pour la fraction \(\frac{1}{15}\) :
On remplace \(d\) par 15 :
\[ \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{2\times15} + \frac{1}{6\times15} = \frac{1}{30} + \frac{1}{90}. \]
Pour la fraction \(\frac{1}{75}\) :
On remplace \(d\) par 75 :
\[ \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{75} = \frac{1}{2\times75} + \frac{1}{6\times75} = \frac{1}{150} + \frac{1}{450}. \]
En regroupant les deux résultats, nous avons :
\[ \frac{2}{3}\Bigl(\frac{1}{15}+\frac{1}{75}\Bigr) = \frac{1}{30}+\frac{1}{90}+\frac{1}{150}+\frac{1}{450}. \]
Réponse 2 : \(\displaystyle \frac{1}{30}+\frac{1}{90}+\frac{1}{150}+\frac{1}{450}\).
Encore une fois, nous appliquons la méthode à chaque fraction :
Pour \(\frac{1}{3}\) :
\[ \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2\times3} + \frac{1}{6\times3} = \frac{1}{6} + \frac{1}{18}. \]
Pour \(\frac{1}{9}\) :
\[ \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{2\times9} + \frac{1}{6\times9} = \frac{1}{18} + \frac{1}{54}. \]
Nous obtenons alors :
\[ \frac{2}{3}\Bigl(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}\Bigr) = \left(\frac{1}{6}+\frac{1}{18}\right) + \left(\frac{1}{18}+\frac{1}{54}\right). \]
On remarque que le dénominateur \(18\) apparaît deux fois. Comme dans la représentation égyptienne on souhaite avoir des dénominateurs différents, nous additionnons ces deux fractions identiques :
\[ \frac{1}{18}+\frac{1}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}. \]
Ainsi, la décomposition devient :
\[ \frac{2}{3}\Bigl(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}\Bigr) = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{54}. \]
Réponse 3 : \(\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{54}\).
\(\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{7} = \frac{1}{14}+\frac{1}{42}\).
\(\displaystyle \frac{2}{3}\left(\frac{1}{15}+\frac{1}{75}\right) = \frac{1}{30}+\frac{1}{90}+\frac{1}{150}+\frac{1}{450}\).
\(\displaystyle \frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}\right) = \frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{54}\).
Ces décompositions répondent à la méthode égyptienne pour calculer les \(\frac{2}{3}\) d’une fraction unitaire, ou somme de fractions unitaires.