Exercice 204

Dans l’Antiquité, les Égyptiens utilisaient pour leurs calculs des fractions unitaires (c’est-à-dire des fractions dont le numérateur est égal à 1), à l’exception de \(\frac{2}{3}\). Pour effectuer leurs calculs, ils remplaçaient parfois une fraction unitaire par une somme de fractions unitaires, ou inversement.

Compléter :

1. \(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{\ldots}\)

2. \(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{\ldots}\)

3. \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{\ldots}\)

4. \(\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}=\frac{1}{\ldots}\)

5. \(\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28}=\frac{1}{\ldots}\)

6. \(\frac{1}{8}+\frac{1}{56}=\frac{1}{\ldots}\)

7. \(\frac{1}{13}+\frac{1}{26}+\frac{1}{104}=\frac{1}{\ldots}\)

8. \(\frac{1}{14}+\frac{1}{28}+\frac{1}{56}=\frac{1}{\ldots}\)

Réponse

Voici le résumé des réponses :

1. 1/6 + 1/6 = 1/3
   
2. 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2
   
3. 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1
   
4. 1/15 + 1/15 + 1/15 = 1/5
   
5. 1/7 + 1/14 + 1/28 = 1/4
   
6. 1/8 + 1/56 = 1/7
   
7. 1/13 + 1/26 + 1/104 = 1/8
   
8. 1/14 + 1/28 + 1/56 = 1/8

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en plusieurs étapes :

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1) Calcul de \(\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\)

Nous additionnons les deux fractions qui ont le même dénominateur :

\[ \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1+1}{6} = \frac{2}{6} \]

On simplifie \(\frac{2}{6}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par 2 :

\[ \frac{2 ÷ 2}{6 ÷ 2} = \frac{1}{3} \]

Réponse : \(\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\).

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2) Calcul de \(\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}\)

Additionnons les trois fractions :

\[ \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1+1+1}{6} = \frac{3}{6} \]

Simplifions la fraction en divisant par 3 :

\[ \frac{3 ÷ 3}{6 ÷ 3} = \frac{1}{2} \]

Réponse : \(\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\).

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3) Calcul de \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\)

Pour additionner, nous cherchons un dénominateur commun. Ici, le dénominateur 6 fonctionne :

• \(\frac{1}{2} = \frac{3}{6}\) car \(1 \times 3 = 3\) et \(2 \times 3 = 6\),
• \(\frac{1}{3} = \frac{2}{6}\) car \(1 \times 2 = 2\) et \(3 \times 2 = 6\),
• \(\frac{1}{6}\) reste \(\frac{1}{6}\).

Additionnons :

\[ \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1 = \frac{1}{1} \]

Réponse : \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{1}\).

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4) Calcul de \(\frac{1}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{15}\)

Additionnons les trois fractions ayant le même dénominateur :

\[ \frac{1}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{15} = \frac{1+1+1}{15} = \frac{3}{15} \]

Simplifions en divisant numérateur et dénominateur par 3 :

\[ \frac{3 ÷ 3}{15 ÷ 3} = \frac{1}{5} \]

Réponse : \(\frac{1}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{15} = \frac{1}{5}\).

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5) Calcul de \(\frac{1}{7} + \frac{1}{14} + \frac{1}{28}\)

Ici, nous cherchons un dénominateur commun. Le dénominateur 28 convient :

• \(\frac{1}{7} = \frac{4}{28}\) car \(7 \times 4 = 28\),
• \(\frac{1}{14} = \frac{2}{28}\) car \(14 \times 2 = 28\),
• \(\frac{1}{28}\) reste \(\frac{1}{28}\).

Additionnons :

\[ \frac{4}{28} + \frac{2}{28} + \frac{1}{28} = \frac{4+2+1}{28} = \frac{7}{28} \]

Simplifions en divisant par 7 :

\[ \frac{7 ÷ 7}{28 ÷ 7} = \frac{1}{4} \]

Réponse : \(\frac{1}{7} + \frac{1}{14} + \frac{1}{28} = \frac{1}{4}\).

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6) Calcul de \(\frac{1}{8} + \frac{1}{56}\)

Le dénominateur commun est 56 :

• \(\frac{1}{8} = \frac{7}{56}\) car \(8 \times 7 = 56\),
• \(\frac{1}{56}\) reste \(\frac{1}{56}\).

Additionnons :

\[ \frac{7}{56} + \frac{1}{56} = \frac{7+1}{56} = \frac{8}{56} \]

Simplifions en divisant par 8 :

\[ \frac{8 ÷ 8}{56 ÷ 8} = \frac{1}{7} \]

Réponse : \(\frac{1}{8} + \frac{1}{56} = \frac{1}{7}\).

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7) Calcul de \(\frac{1}{13} + \frac{1}{26} + \frac{1}{104}\)

Pour additionner ces fractions, nous utilisons le dénominateur commun 104 :

• \(\frac{1}{13} = \frac{8}{104}\) car \(13 \times 8 = 104\),
• \(\frac{1}{26} = \frac{4}{104}\) car \(26 \times 4 = 104\),
• \(\frac{1}{104}\) reste \(\frac{1}{104}\).

Additionnons :

\[ \frac{8}{104} + \frac{4}{104} + \frac{1}{104} = \frac{8+4+1}{104} = \frac{13}{104} \]

Simplifions en divisant par 13 :

\[ \frac{13 ÷ 13}{104 ÷ 13} = \frac{1}{8} \]

Réponse : \(\frac{1}{13} + \frac{1}{26} + \frac{1}{104} = \frac{1}{8}\).

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8) Calcul de \(\frac{1}{14} + \frac{1}{28} + \frac{1}{56}\)

Cherchons ici le dénominateur commun qui est 56 :

• \(\frac{1}{14} = \frac{4}{56}\) car \(14 \times 4 = 56\),
• \(\frac{1}{28} = \frac{2}{56}\) car \(28 \times 2 = 56\),
• \(\frac{1}{56}\) reste \(\frac{1}{56}\).

Additionnons :

\[ \frac{4}{56} + \frac{2}{56} + \frac{1}{56} = \frac{4+2+1}{56} = \frac{7}{56} \]

Simplifions en divisant par 7 :

\[ \frac{7 ÷ 7}{56 ÷ 7} = \frac{1}{8} \]

Réponse : \(\frac{1}{14} + \frac{1}{28} + \frac{1}{56} = \frac{1}{8}\).

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Ainsi, les complétions sont :

1. \(\frac{1}{3}\)
   
2. \(\frac{1}{2}\)
   
3. \(\frac{1}{1}\)
   
4. \(\frac{1}{5}\)
   
5. \(\frac{1}{4}\)
   
6. \(\frac{1}{7}\)
   
7. \(\frac{1}{8}\)
   
8. \(\frac{1}{8}\)