Une fraction dont le numérateur vaut 1 est appelée fraction unitaire (par exemple, \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{10}\), etc.). Dans l’Antiquité, les Égyptiens calculaien avec des fractions unitaires (sauf \(\frac{2}{3}\)). Toute autre fraction devait être décomposée en une somme de fractions unitaires à dénominateurs différents. Pour réaliser ces décompositions, les scribes utilisaient des tables de transformation.
Exemple :
\[
\frac{1}{6}+\frac{1}{18} \text{ est le double de } \frac{1}{9}, \quad
\text{car} \quad
\frac{1}{6}+\frac{1}{18}=\frac{3+1}{18}=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}.
\]
Calculer :
\(\frac{1}{6}+\frac{1}{66}\) est le double de \(\ldots\).
\(\frac{1}{54}+\frac{1}{162}\) est le double de \(\ldots\).
\(\frac{1}{12}+\frac{1}{51}+\frac{1}{68}\) est le double de \(\ldots\).
\(\frac{1}{8}+\frac{1}{52}+\frac{1}{104}\) est le double de \(\ldots\).
Remarque :
La décomposition en fractions unitaires doit respecter les règles
suivantes : - Utiliser le moins de termes possible ; - Le dénominateur
ne doit pas dépasser 1000 ; - Chaque dénominateur doit être différent ;
- Les dénominateurs pairs sont préférés aux dénominateurs impairs.
(D’après le papyrus de Rhind)
Voici une correction détaillée pour résoudre chacune des décompositions en fractions unitaires.
Étape 1 : Écrire les fractions avec un dénominateur commun
On peut remarquer que \(66 = 6 \times 11\). Pour additionner, transformons \(\frac{1}{6}\) en une fraction de dénominateur 66 :
\[ \frac{1}{6} = \frac{11}{66} \]
Étape 2 : Additionner les deux fractions
\[ \frac{11}{66} + \frac{1}{66} = \frac{11+1}{66} = \frac{12}{66} \]
Étape 3 : Réduire la fraction
Divisons numérateur et dénominateur par 6 :
\[ \frac{12}{66} = \frac{12 \div 6}{66 \div 6} = \frac{2}{11} \]
Étape 4 : Identifier la fraction unité qui, doublée, donne \(\frac{2}{11}\)
Puisque le double d’une fraction unité \(\frac{1}{d}\) est :
\[ 2 \times \frac{1}{d} = \frac{2}{d}, \]
nous voulons que :
\[ \frac{2}{d} = \frac{2}{11}. \]
Donc, \(d = 11\).
Conclusion pour la question 1 :
\[ \frac{1}{6}+\frac{1}{66} \text{ est le double de } \frac{1}{11}. \]
Étape 1 : Mettre les fractions sous le même dénominateur
On remarque que \(162 = 54 \times 3\). Exprimons : \[ \frac{1}{54} = \frac{3}{162}. \]
Étape 2 : Additionner les deux fractions
\[ \frac{3}{162} + \frac{1}{162} = \frac{3+1}{162} = \frac{4}{162}. \]
Étape 3 : Réduire la fraction
Pour réduire, on divise numérateur et dénominateur par 2 :
\[ \frac{4}{162} = \frac{2}{81}. \]
Étape 4 : Identifier la fraction unitaire recherchée
Nous avons \(2 \times \frac{1}{d} = \frac{2}{81}\). Ainsi, \(d = 81\).
Conclusion pour la question 2 :
\[ \frac{1}{54}+\frac{1}{162} \text{ est le double de } \frac{1}{81}. \]
Étape 1 : Trouver un dénominateur commun
Pour cela, décomposons chaque dénominateur en produit de facteurs premiers :
Le dénominateur commun sera le produit de \(2^2\), \(3\) et \(17\) :
\[ \text{LCM} = 4 \times 3 \times 17 = 204. \]
Étape 2 : Transformer chaque fraction avec le dénominateur 204
\[ \frac{1}{12} = \frac{204 \div 12}{204} = \frac{17}{204}, \] \[ \frac{1}{51} = \frac{204 \div 51}{204} = \frac{4}{204}, \] \[ \frac{1}{68} = \frac{204 \div 68}{204} = \frac{3}{204}. \]
Étape 3 : Additionner les fractions
\[ \frac{17}{204}+\frac{4}{204}+\frac{3}{204} = \frac{17+4+3}{204} = \frac{24}{204}. \]
Étape 4 : Réduire la fraction
Divisons numérateur et dénominateur par 12 :
\[ \frac{24}{204} = \frac{24 \div 12}{204 \div 12} = \frac{2}{17}. \]
Étape 5 : Trouver la fraction unité recherchée
Nous avons \(2 \times \frac{1}{d} = \frac{2}{17}\). Il suffit d’obtenir \(d = 17\).
Conclusion pour la question 3 :
\[ \frac{1}{12}+\frac{1}{51}+\frac{1}{68} \text{ est le double de } \frac{1}{17}. \]
Étape 1 : Trouver un dénominateur commun
Décomposons les dénominateurs :
Le plus petit dénominateur commun est :
\[ \text{LCM} = 2^3 \times 13 = 8 \times 13 = 104. \]
Étape 2 : Réécrire chaque fraction avec le dénominateur 104
\[ \frac{1}{8} = \frac{104 \div 8}{104} = \frac{13}{104}, \] \[ \frac{1}{52} = \frac{104 \div 52}{104} = \frac{2}{104}, \] \[ \frac{1}{104} \text{ reste } \frac{1}{104}. \]
Étape 3 : Additionner les fractions
\[ \frac{13}{104}+\frac{2}{104}+\frac{1}{104} = \frac{13+2+1}{104} = \frac{16}{104}. \]
Étape 4 : Réduire la fraction
Divisons numérateur et dénominateur par 8 :
\[ \frac{16}{104} = \frac{16 \div 8}{104 \div 8} = \frac{2}{13}. \]
Étape 5 : Déterminer la fraction unité
Comme \(2 \times \frac{1}{d} = \frac{2}{13}\), il faut que \(d = 13\).
Conclusion pour la question 4 :
\[ \frac{1}{8}+\frac{1}{52}+\frac{1}{104} \text{ est le double de } \frac{1}{13}. \]
\(\frac{1}{6}+\frac{1}{66}\) est le double de \(\displaystyle \frac{1}{11}\).
\(\frac{1}{54}+\frac{1}{162}\) est le double de \(\displaystyle \frac{1}{81}\).
\(\frac{1}{12}+\frac{1}{51}+\frac{1}{68}\) est le double de \(\displaystyle \frac{1}{17}\).
\(\frac{1}{8}+\frac{1}{52}+\frac{1}{104}\) est le double de \(\displaystyle \frac{1}{13}\).
Cette démarche détaillée permet de comprendre comment passer d’une somme de fractions à une expression sous la forme d’un double d’une fraction unitaire.