Exercice :
La fraction \(\frac{7269}{14538}\) satisfait les propriétés suivantes : - (a) Le numérateur est un nombre à 4 chiffres. - (b) Le dénominateur est un nombre à 5 chiffres. - (c) Chaque chiffre de 1 à 9 est utilisé exactement une fois. - (d) \(\displaystyle \frac{7269}{14538} = \frac{1}{2}\).
Trouvez d’autres fractions présentant ces mêmes propriétés.
Les fractions satisfaisant les conditions sont : 6729/13458, 6792/13584, 7269/14538 et 7692/15384.
Nous allons montrer comment trouver des fractions \(\frac{N}{2N}\) qui utilisent exactement les neuf chiffres de 1 à 9, avec \(N\) un nombre à 4 chiffres et \(2N\) un nombre à 5 chiffres, et tel que \[ \frac{N}{2N} = \frac{1}{2}\,. \]
Étape 1 : Comprendre les conditions
On cherche un nombre \(N\) (à 4 chiffres) tel que : - \(2N\) soit un nombre à 5 chiffres ; - Les chiffres qui apparaissent dans \(N\) et \(2N\) (au total 9 chiffres) soient exactement les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, chacun une seule fois ; - Naturellement, la fraction \(\frac{N}{2N}\) vaut \(\frac{1}{2}\).
Notez que pour que \(2N\) ait 5 chiffres, il faut que \(2N \ge 10000\) ce qui implique \[ N \ge 5000\,. \]
Étape 2 : La relation entre le numérateur et le dénominateur
Puisque le dénominateur est exactement le double du numérateur, nous écrivons : \[ \text{Dénominateur} = 2 \times N\,. \] Ainsi, il suffit de trouver des nombres \(N\) à 4 chiffres (avec \(N \ge 5000\)) vérifiant la condition pandigitale : - Le nombre \(N\) et son double \(2N\) combinés doivent contenir, une seule fois, chacun des chiffres de 1 à 9.
Étape 3 : Recherche des solutions connues
On peut vérifier à l’aide d’une recherche (par exemple un programme informatique ou une recherche méthodique) qu’on obtient quatre solutions possibles. On nous donne déjà la fraction :
\[ \frac{7269}{14538}\,, \]
ce qui signifie que \(N=7269\) et \(2N=14538\), et les chiffres utilisés sont \(7,2,6,9\) et \(1,4,5,3,8\).
Les trois autres solutions qui satisfont aux propriétés sont :
\(\displaystyle \frac{6729}{13458}\)
\(\displaystyle \frac{6792}{13584}\)
\(\displaystyle \frac{7692}{15384}\)
Pour chacune de ces fractions, les propriétés sont bien vérifiées : - Le numérateur est un nombre à 4 chiffres. - Le dénominateur est un nombre à 5 chiffres. - L’ensemble des chiffres de \(N\) et de \(2N\) est exactement \(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) sans répétition. - La fraction vaut bien \(\frac{1}{2}\).
Conclusion
Les fractions qui satisfont aux propriétés demandées sont donc :
\[ \frac{6729}{13458},\quad \frac{6792}{13584},\quad \frac{7269}{14538},\quad \frac{7692}{15384}\,. \]
Parmi celles-ci, la fraction \(\frac{7269}{14538}\) est donnée dans l’énoncé. Les trois autres sont les solutions recherchées.