Calculer la valeur de l’expression
\[ \frac{3x^2 - 5xy + y^2}{x - y} \]
pour les cas suivants :
\(x = -2\) et \(y = \frac{1}{4}\).
\(x = -\frac{3}{2}\) et \(y = -\frac{1}{5}\).
\(x = \frac{1}{3}\) et \(y = -\frac{3}{5}\).
Réponse courte :
• Pour x = -2 et y = 1/4, E = -233/36
• Pour x = -3/2 et y = -1/5, E = -529/130
• Pour x = 1/3 et y = -3/5, E = 127/70
Nous souhaitons calculer
\[ E = \frac{3x^2 - 5xy + y^2}{x - y} \]
pour trois jeux de valeurs de \(x\) et \(y\). Pour chaque cas, nous remplaçons \(x\) et \(y\) dans l’expression, effectuons les calculs du numérateur et du dénominateur puis réalisons la division.
Calcul du numérateur
Nous avons : \[ \begin{aligned} 3x^2 - 5xy + y^2 &= 3(-2)^2 - 5(-2) \left(\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4}\right)^2 \\ &= 3 \times 4 - 5\left(-\frac{2}{4}\right) + \frac{1}{16} \\ &= 12 + \frac{5}{2} + \frac{1}{16}. \end{aligned} \]
Pour additionner ces trois nombres, nous exprimons chacun sous forme de fraction avec un même dénominateur. Le dénominateur commun choisi est 16 : \[ \begin{aligned} 12 &= \frac{12 \times 16}{16} = \frac{192}{16}, \\ \frac{5}{2} &= \frac{5 \times 8}{2 \times 8} = \frac{40}{16}, \\ \frac{1}{16} &= \frac{1}{16}. \end{aligned} \]
Ainsi, \[ 3x^2 - 5xy + y^2 = \frac{192}{16} + \frac{40}{16} + \frac{1}{16} = \frac{192 + 40 + 1}{16} = \frac{233}{16}. \]
Calcul du dénominateur
On a : \[ x - y = -2 - \frac{1}{4}. \] Pour soustraire, écrivons \(-2\) avec le dénominateur 4 : \[ -2 = -\frac{8}{4}, \quad \text{donc} \quad x - y = -\frac{8}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{9}{4}. \]
Division (calcul de l’expression \(E\))
Nous avons donc : \[ E = \frac{\frac{233}{16}}{-\frac{9}{4}} = \frac{233}{16} \times \frac{4}{-9}. \]
Simplifions le facteur \(\frac{4}{16} = \frac{1}{4}\) : \[ E = \frac{233}{-9 \times 4} = -\frac{233}{36}. \]
Ainsi, pour le cas 1, la valeur de l’expression est : \[ \boxed{-\frac{233}{36}}. \]
Calcul du numérateur
Nous avons : \[ \begin{aligned} 3x^2 - 5xy + y^2 &= 3\left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 5\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{1}{5}\right) + \left(-\frac{1}{5}\right)^2. \end{aligned} \]
Calcul de \(x^2\) : \[ \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \quad \Rightarrow \quad 3x^2 = 3 \times \frac{9}{4} = \frac{27}{4}. \]
Calcul de \(-5xy\) : \[ xy = \left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{3}{10} \quad \Rightarrow \quad -5xy = -5 \times \frac{3}{10} = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}. \]
Calcul de \(y^2\) : \[ \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}. \]
Ainsi, le numérateur vaut : \[ \frac{27}{4} - \frac{3}{2} + \frac{1}{25}. \]
Pour additionner ces fractions, nous cherchons un dénominateur commun. Le dénominateur commun des nombres 4, 2 et 25 est 100 (car \(4 \times 25 = 100\) et \(2 \times 50 = 100\)) : \[ \begin{aligned} \frac{27}{4} &= \frac{27 \times 25}{4 \times 25} = \frac{675}{100}, \\ \frac{3}{2} &= \frac{3 \times 50}{2 \times 50} = \frac{150}{100}, \\ \frac{1}{25} &= \frac{1 \times 4}{25 \times 4} = \frac{4}{100}. \end{aligned} \]
Donc, \[ \frac{27}{4} - \frac{3}{2} + \frac{1}{25} = \frac{675}{100} - \frac{150}{100} + \frac{4}{100} = \frac{675 - 150 + 4}{100} = \frac{529}{100}. \]
Calcul du dénominateur
Nous avons : \[ x - y = -\frac{3}{2} - \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{3}{2} + \frac{1}{5}. \]
Pour effectuer cette addition, mettons au même dénominateur, ici 10 fait l’affaire : \[ -\frac{3}{2} = -\frac{15}{10} \quad \text{et} \quad \frac{1}{5} = \frac{2}{10}. \]
Ainsi, \[ x - y = -\frac{15}{10} + \frac{2}{10} = -\frac{13}{10}. \]
Division (calcul de \(E\))
L’expression devient : \[ E = \frac{\frac{529}{100}}{-\frac{13}{10}} = \frac{529}{100} \times \frac{10}{-13}. \]
Simplifions : \[ \frac{10}{100} = \frac{1}{10}, \quad \text{donc} \quad E = \frac{529}{-13 \times 10} = -\frac{529}{130}. \]
Ainsi, pour le cas 2, la valeur de l’expression est : \[ \boxed{-\frac{529}{130}}. \]
Calcul du numérateur
Nous avons : \[ \begin{aligned} 3x^2 - 5xy + y^2 &= 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 5\left(\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{3}{5}\right) + \left(-\frac{3}{5}\right)^2. \end{aligned} \]
Calcul de \(3x^2\) : \[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \quad \Rightarrow \quad 3x^2 = 3 \times \frac{1}{9} = \frac{1}{3}. \]
Calcul de \(-5xy\) : \[ xy = \frac{1}{3} \times \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{3}{15} = -\frac{1}{5} \quad \Rightarrow \quad -5xy = -5 \times \left(-\frac{1}{5}\right) = 1. \]
Calcul de \(y^2\) : \[ \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}. \]
Ainsi, le numérateur vaut : \[ \frac{1}{3} + 1 + \frac{9}{25}. \]
Cherchons un dénominateur commun. Ici, le plus petit commun multiple de 3, 1 et 25 est 75 : \[ \begin{aligned} \frac{1}{3} &= \frac{25}{75}, \\ 1 &= \frac{75}{75}, \\ \frac{9}{25} &= \frac{9 \times 3}{25 \times 3} = \frac{27}{75}. \end{aligned} \]
Dès lors, \[ \frac{1}{3} + 1 + \frac{9}{25} = \frac{25}{75} + \frac{75}{75} + \frac{27}{75} = \frac{25+75+27}{75} = \frac{127}{75}. \]
Calcul du dénominateur
Nous avons : \[ x - y = \frac{1}{3} - \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{1}{3} + \frac{3}{5}. \]
Mettons au même dénominateur, ici 15 convient : \[ \frac{1}{3} = \frac{5}{15} \quad \text{et} \quad \frac{3}{5} = \frac{9}{15}. \]
Donc, \[ x - y = \frac{5}{15} + \frac{9}{15} = \frac{14}{15}. \]
Division (calcul de \(E\))
L’expression devient : \[ E = \frac{\frac{127}{75}}{\frac{14}{15}} = \frac{127}{75} \times \frac{15}{14}. \]
Simplifions le facteur : \[ \frac{15}{75} = \frac{1}{5}, \] donc, \[ E = \frac{127}{5 \times 14} = \frac{127}{70}. \]
Ainsi, pour le cas 3, la valeur de l’expression est : \[ \boxed{\frac{127}{70}}. \]
Pour \(x = -2\) et \(y = \frac{1}{4}\) :
\[
E = -\frac{233}{36}.
\]
Pour \(x = -\frac{3}{2}\) et
\(y = -\frac{1}{5}\) :
\[
E = -\frac{529}{130}.
\]
Pour \(x = \frac{1}{3}\) et
\(y = -\frac{3}{5}\) :
\[
E = \frac{127}{70}.
\]
Chaque étape a été détaillée afin d’expliquer clairement le calcul du numérateur, du dénominateur et la division finale pour obtenir la valeur de l’expression dans chacun des cas considérés.