Exercice
Calculer la valeur de \[ \frac{xy+3x-1}{x+y} \] pour les cas suivants :
\(x = -\frac{4}{3}\) et \(y = \frac{1}{2}\).
\(x = -\frac{1}{2}\) et \(y = -\frac{1}{2}\).
\(x = \frac{5}{6}\) et \(y = -\frac{3}{20}\).
Réponses : pour x = –4/3 et y = 1/2, le résultat est 34/5 ; pour x = –1/2 et y = –1/2, le résultat est 9/4 ; et pour x = 5/6 et y = –3/20, le résultat est 165/82.
Nous allons calculer l’expression \[ \frac{xy+3x-1}{x+y} \] pour chacun des cas proposés. Pour ce faire, nous allons remplacer \(x\) et \(y\) par leurs valeurs respectives, simplifier le numérateur et le dénominateur, puis effectuer la division.
Calcul du numérateur :
Nous devons calculer \[ xy + 3x - 1. \]
Calcul de \(xy\) : \[ xy = \left(-\frac{4}{3}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}. \]
Calcul de \(3x\) : \[ 3x = 3\left(-\frac{4}{3}\right) = -4. \]
En ajoutant les termes et en soustrayant 1 : \[ xy + 3x - 1 = -\frac{2}{3} - 4 - 1. \]
Pour combiner ces termes, mettons tous les termes sur le même dénominateur (ici \(3\)) : \[ -\frac{2}{3} - 4 - 1 = -\frac{2}{3} - \frac{12}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{2 + 12 + 3}{3} = -\frac{17}{3}. \]
Calcul du dénominateur :
Nous avons \[ x+y = -\frac{4}{3} + \frac{1}{2}. \]
Pour sommer ces deux fractions, utilisons un dénominateur commun, ici \(6\) : \[ -\frac{4}{3} = -\frac{8}{6} \quad \text{et} \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}. \]
Ainsi, \[ x+y = -\frac{8}{6} + \frac{3}{6} = -\frac{5}{6}. \]
Division du numérateur par le dénominateur :
Nous obtenons \[ \frac{xy+3x-1}{x+y} = \frac{-\frac{17}{3}}{-\frac{5}{6}}. \]
Pour diviser deux fractions, multiplions par l’inverse de la deuxième fraction : \[ \frac{-\frac{17}{3}}{-\frac{5}{6}} = \left(-\frac{17}{3}\right) \times \left(-\frac{6}{5}\right). \]
Le produit des deux nombres négatifs est positif : \[ \left(-\frac{17}{3}\right) \times \left(-\frac{6}{5}\right) = \frac{17 \times 6}{3 \times 5} = \frac{102}{15}. \]
Nous pouvons simplifier cette fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 : \[ \frac{102 \div 3}{15 \div 3} = \frac{34}{5}. \]
Réponse du cas 1 : \(\displaystyle \frac{34}{5}\).
Calcul du numérateur :
Remplaçons dans \[ xy + 3x - 1. \]
Calcul de \(xy\) : \[ xy = \left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}. \]
Calcul de \(3x\) : \[ 3x = 3\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}. \]
En ajoutant les termes : \[ xy + 3x - 1 = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} - 1. \]
Pour combiner ces termes, utilisons un dénominateur commun, ici \(4\) : \[ \frac{1}{4} - \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} - \frac{4}{4} = \frac{1 - 6 - 4}{4} = -\frac{9}{4}. \]
Calcul du dénominateur :
Nous avons \[ x+y = -\frac{1}{2} -\frac{1}{2} = -1. \]
Division du numérateur par le dénominateur :
\[ \frac{xy+3x-1}{x+y} = \frac{-\frac{9}{4}}{-1} = \frac{9}{4}. \]
Réponse du cas 2 : \(\displaystyle \frac{9}{4}\).
Calcul du numérateur :
La valeur à calculer est \[ xy + 3x - 1. \]
Calcul de \(xy\) : \[ xy = \frac{5}{6} \times \left(-\frac{3}{20}\right) = -\frac{15}{120} = -\frac{1}{8}. \]
Calcul de \(3x\) : \[ 3x = 3 \times \frac{5}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}. \]
Ajoutons et soustrayons les termes : \[ xy + 3x - 1 = -\frac{1}{8} + \frac{5}{2} - 1. \]
Mettez ces fractions sur un même dénominateur, ici \(8\) : \[ \frac{5}{2} = \frac{20}{8} \quad \text{et} \quad 1 = \frac{8}{8}. \]
Ainsi, \[ -\frac{1}{8} + \frac{20}{8} - \frac{8}{8} = \frac{-1 + 20 - 8}{8} = \frac{11}{8}. \]
Calcul du dénominateur :
Calculons \[ x+y = \frac{5}{6} + \left(-\frac{3}{20}\right). \]
Pour combiner ces fractions, utilisons un dénominateur commun, par exemple \(60\) : \[ \frac{5}{6} = \frac{50}{60} \quad \text{et} \quad -\frac{3}{20} = -\frac{9}{60}. \]
Ainsi, \[ x+y = \frac{50}{60} - \frac{9}{60} = \frac{41}{60}. \]
Division du numérateur par le dénominateur :
Nous avons \[ \frac{xy+3x-1}{x+y} = \frac{\frac{11}{8}}{\frac{41}{60}}. \]
Pour diviser, multiplions par l’inverse : \[ \frac{11}{8} \times \frac{60}{41} = \frac{11 \times 60}{8 \times 41}. \]
Simplifions : \[ \frac{60}{8} = \frac{15}{2} \quad \text{donc} \quad \frac{11 \times 15}{2 \times 41} = \frac{165}{82}. \]
Réponse du cas 3 : \(\displaystyle \frac{165}{82}\).
Pour résumer, la valeur de l’expression \(\frac{xy+3x-1}{x+y}\) est :
Pour \(x = -\frac{4}{3}\) et \(y = \frac{1}{2}\) : \(\displaystyle \frac{34}{5}\).
Pour \(x = -\frac{1}{2}\) et \(y = -\frac{1}{2}\) : \(\displaystyle \frac{9}{4}\).
Pour \(x = \frac{5}{6}\) et \(y = -\frac{3}{20}\) : \(\displaystyle \frac{165}{82}\).
Chaque étape a consisté à remplacer les valeurs, simplifier les fractions et à effectuer les opérations arithmétiques de base.