Exercice 199

Exercice

Calculer la valeur de \(2a \cdot \left(1 - b^2\right)\) dans les cas suivants :

\(a = \frac{3}{5}\) et \(b = \frac{7}{2}\).
\(a = -\frac{5}{7}\) et \(b = \frac{2}{5}\).

Réponse

Pour a = 3/5 et b = 7/2, l’expression vaut –27/2 ; pour a = –5/7 et b = 2/5, elle vaut –6/5.

Corrigé détaillé

Nous allons calculer l’expression

\[ 2a \cdot \left(1 - b^2\right) \]

pour chacun des cas proposés.

Cas 1 : \(a = \frac{3}{5}\) et \(b = \frac{7}{2}\)

Étape 1 : Remplacer \(a\) et \(b\) dans l’expression

Nous avons :

\[ 2a \cdot \left(1 - b^2\right) = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(1 - \left(\frac{7}{2}\right)^2\right) \]

Étape 2 : Calculer \(2 \cdot \frac{3}{5}\)

\[ 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5} \]

Étape 3 : Calculer \(\left(\frac{7}{2}\right)^2\)

\[ \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{7^2}{2^2} = \frac{49}{4} \]

Étape 4 : Soustraire \(b^2\) de 1

Pour effectuer la soustraction, il est utile d’exprimer 1 sous forme de fraction ayant le même dénominateur que \(\frac{49}{4}\). Comme

\[ 1 = \frac{4}{4}, \]

alors :

\[ 1 - \frac{49}{4} = \frac{4}{4} - \frac{49}{4} = \frac{4 - 49}{4} = \frac{-45}{4} \]

Étape 5 : Calculer le produit des deux résultats

Nous avons trouvé :

\[ \frac{6}{5} \cdot \frac{-45}{4} \]

Multiplions les numérateurs entre eux ainsi que les dénominateurs :

\[ \frac{6 \cdot (-45)}{5 \cdot 4} = \frac{-270}{20} \]

Étape 6 : Simplifier la fraction

Pour simplifier \(\frac{-270}{20}\), nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par 10 :

\[ \frac{-270 \div 10}{20 \div 10} = \frac{-27}{2} \]

La valeur dans le cas 1 est donc :

\[ \boxed{-\frac{27}{2}} \]

Cas 2 : \(a = -\frac{5}{7}\) et \(b = \frac{2}{5}\)

Étape 1 : Remplacer \(a\) et \(b\) dans l’expression

\[ 2a \cdot \left(1 - b^2\right) = 2 \cdot \left(-\frac{5}{7}\right) \cdot \left(1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2\right) \]

Étape 2 : Calculer \(2 \cdot \left(-\frac{5}{7}\right)\)

\[ 2 \cdot \left(-\frac{5}{7}\right) = -\frac{10}{7} \]

Étape 3 : Calculer \(\left(\frac{2}{5}\right)^2\)

\[ \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25} \]

Étape 4 : Soustraire \(b^2\) de 1

Exprimer 1 sous forme de fraction avec le dénominateur 25 :

\[ 1 = \frac{25}{25} \]

Alors :

\[ 1 - \frac{4}{25} = \frac{25}{25} - \frac{4}{25} = \frac{25 - 4}{25} = \frac{21}{25} \]

Étape 5 : Calculer le produit

Nous avons :

\[ -\frac{10}{7} \cdot \frac{21}{25} \]

Effectuons la multiplication :

\[ -\frac{10 \cdot 21}{7 \cdot 25} = -\frac{210}{175} \]

Étape 6 : Simplifier la fraction

Pour simplifier \(\frac{210}{175}\), cherchons un diviseur commun. On remarque que 35 divise à la fois le numérateur et le dénominateur :

\[ \frac{210 \div 35}{175 \div 35} = \frac{6}{5} \]

En gardant le signe négatif :

\[ -\frac{210}{175} = -\frac{6}{5} \]

La valeur dans le cas 2 est donc :

\[ \boxed{-\frac{6}{5}} \]

Réponses finales

Pour \(a = \frac{3}{5}\) et \(b = \frac{7}{2}\), la valeur de \(2a \cdot (1-b^2)\) est \(\boxed{-\frac{27}{2}}\).
Pour \(a = -\frac{5}{7}\) et \(b = \frac{2}{5}\), la valeur de \(2a \cdot (1-b^2)\) est \(\boxed{-\frac{6}{5}}\).

Cette méthode étape par étape permet de bien comprendre le processus de calcul en remplaçant les valeurs, en effectuant les opérations et en simplifiant les fractions obtenues.