Calculer la valeur de \[ \frac{x+5y}{x} \] pour les cas suivants :
\(x = \frac{2}{3}\) et \(y = -4\)
\(x = -4\) et \(y = -\frac{8}{5}\)
\(x = -\frac{1}{2}\) et \(y = \frac{7}{10}\)
Réponses : 1) -29
2) 3
3) -6
Nous voulons calculer la valeur de l’expression suivante :
\[ \frac{x+5y}{x} \]
pour trois cas particuliers. Pour cela, il faut remplacer \(x\) et \(y\) par leurs valeurs respectives, effectuer la somme dans le numérateur, puis diviser par \(x\).
Soit \(x = \frac{2}{3}\) et \(y = -4\).
Calcul du numérateur :
\[ x + 5y = \frac{2}{3} + 5(-4) \] \[ = \frac{2}{3} - 20 \]
Pour additionner une fraction et un entier, on écrit \(20\) sous forme de fraction :
\[ 20 = \frac{20 \times 3}{3} = \frac{60}{3} \]
Ainsi, on peut écrire :
\[ \frac{2}{3} - 20 = \frac{2}{3} - \frac{60}{3} = \frac{2 - 60}{3} = \frac{-58}{3} \]
Division par \(x\) :
La valeur de l’expression est alors :
\[ \frac{x+5y}{x} = \frac{\frac{-58}{3}}{\frac{2}{3}} \]
Pour diviser deux fractions, on multiplie par l’inverse du dénominateur :
\[ = \frac{-58}{3} \times \frac{3}{2} \]
On peut simplifier le \(3\) du numérateur et du dénominateur :
\[ = \frac{-58}{1} \times \frac{1}{2} = \frac{-58}{2} \]
Et finalement :
\[ \frac{-58}{2} = -29 \]
Conclusion du cas 1 : La valeur de \(\frac{x+5y}{x}\) est \(-29\).
Soit \(x = -4\) et \(y = -\frac{8}{5}\).
Calcul du numérateur :
\[ x + 5y = -4 + 5\left(-\frac{8}{5}\right) \]
On calcule \(5 \times \left(-\frac{8}{5}\right)\) :
\[ 5 \times \left(-\frac{8}{5}\right) = -8 \]
Ainsi :
\[ x + 5y = -4 - 8 = -12 \]
Division par \(x\) :
\[ \frac{x+5y}{x} = \frac{-12}{-4} \]
Diviser \(-12\) par \(-4\) donne :
\[ \frac{-12}{-4} = 3 \]
Conclusion du cas 2 : La valeur de \(\frac{x+5y}{x}\) est \(3\).
Soit \(x = -\frac{1}{2}\) et \(y = \frac{7}{10}\).
Calcul du numérateur :
\[ x + 5y = -\frac{1}{2} + 5\left(\frac{7}{10}\right) \]
Calculons \(5\left(\frac{7}{10}\right)\) :
\[ 5 \times \frac{7}{10} = \frac{35}{10} \]
Pour additionner avec \(-\frac{1}{2}\), écrivons \(-\frac{1}{2}\) avec le dénominateur \(10\) :
\[ -\frac{1}{2} = -\frac{5}{10} \]
Donc :
\[ -\frac{5}{10} + \frac{35}{10} = \frac{-5 + 35}{10} = \frac{30}{10} = 3 \]
Division par \(x\) :
\[ \frac{x+5y}{x} = \frac{3}{-\frac{1}{2}} \]
Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse :
\[ = 3 \times \left(-2\right) \]
Ainsi :
\[ = -6 \]
Conclusion du cas 3 : La valeur de \(\frac{x+5y}{x}\) est \(-6\).
Pour \(x = \frac{2}{3}\) et \(y = -4\), on a \(\displaystyle \frac{x+5y}{x} = -29\).
Pour \(x = -4\) et \(y = -\frac{8}{5}\), on a \(\displaystyle \frac{x+5y}{x} = 3\).
Pour \(x = -\frac{1}{2}\) et \(y = \frac{7}{10}\), on a \(\displaystyle \frac{x+5y}{x} = -6\).