Exercice 196

Calculer la valeur de \(ab+bc\) dans chacun des cas suivants :

1. \(a=-1\), \(b=\frac{1}{2}\), \(c=\frac{4}{5}\)
2. \(a=-\frac{3}{4}\), \(b=-\frac{6}{7}\), \(c=-\frac{1}{2}\)
3. \(a=-\frac{1}{3}\), \(b=-3\), \(c=\frac{1}{6}\)
4. \(a=-\frac{2}{3}\), \(b=-\frac{5}{2}\), \(c=-\frac{3}{5}\)

Réponse

Réponses finales :

1. ab+bc = -1/10
   
2. ab+bc = 15/14
   
3. ab+bc = 1/2
   
4. ab+bc = 19/6

Corrigé détaillé

Voici la correction pas à pas pour calculer \(ab+bc\) dans chacun des cas.

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Cas 1

On a : \[ a = -1,\quad b = \frac{1}{2},\quad c = \frac{4}{5}. \]

Étape 1 : Calcul de \(ab\) \[ ab = a \times b = (-1) \times \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}. \]

Étape 2 : Calcul de \(bc\) \[ bc = b \times c = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}. \]

Étape 3 : Somme \(ab+bc\) Pour additionner \(-\frac{1}{2}\) et \(\frac{2}{5}\), on se met sur un dénominateur commun. Le dénominateur commun de 2 et 5 est 10. \[ -\frac{1}{2} = -\frac{5}{10} \quad \text{et} \quad \frac{2}{5} = \frac{4}{10}. \] Ainsi, \[ ab+bc = -\frac{5}{10} + \frac{4}{10} = -\frac{1}{10}. \]

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Cas 2

On a : \[ a = -\frac{3}{4},\quad b = -\frac{6}{7},\quad c = -\frac{1}{2}. \]

Étape 1 : Calcul de \(ab\) \[ ab = \left(-\frac{3}{4}\right) \times \left(-\frac{6}{7}\right) = \frac{18}{28}. \] On simplifie en divisant le numérateur et le dénominateur par 2 : \[ \frac{18}{28} = \frac{9}{14}. \]

Étape 2 : Calcul de \(bc\) \[ bc = \left(-\frac{6}{7}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}. \]

Étape 3 : Somme \(ab+bc\) Pour additionner \(\frac{9}{14}\) et \(\frac{3}{7}\), on met \(\frac{3}{7}\) sur le même dénominateur : \[ \frac{3}{7} = \frac{6}{14}. \] Ainsi, \[ ab+bc = \frac{9}{14} + \frac{6}{14} = \frac{15}{14}. \]

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Cas 3

On a : \[ a = -\frac{1}{3},\quad b = -3,\quad c = \frac{1}{6}. \]

Étape 1 : Calcul de \(ab\) \[ ab = \left(-\frac{1}{3}\right) \times (-3) = 1. \] (Remarque : \(-\frac{1}{3}\times -3 = \frac{3}{3} = 1\).)

Étape 2 : Calcul de \(bc\) \[ bc = (-3) \times \frac{1}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}. \]

Étape 3 : Somme \(ab+bc\) \[ ab+bc = 1 + \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. \]

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Cas 4

On a : \[ a = -\frac{2}{3},\quad b = -\frac{5}{2},\quad c = -\frac{3}{5}. \]

Étape 1 : Calcul de \(ab\) \[ ab = \left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{10}{6}. \] On simplifie en divisant le numérateur et le dénominateur par 2 : \[ \frac{10}{6} = \frac{5}{3}. \]

Étape 2 : Calcul de \(bc\) \[ bc = \left(-\frac{5}{2}\right) \times \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}. \]

Étape 3 : Somme \(ab+bc\) Pour additionner \(\frac{5}{3}\) et \(\frac{3}{2}\), on utilise le dénominateur commun qui est 6 : \[ \frac{5}{3} = \frac{10}{6} \quad \text{et} \quad \frac{3}{2} = \frac{9}{6}. \] Ainsi, \[ ab+bc = \frac{10}{6} + \frac{9}{6} = \frac{19}{6}. \]

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Réponses finales

1. Pour \(a=-1\), \(b=\frac{1}{2}\), \(c=\frac{4}{5}\) : \(\displaystyle ab+bc = -\frac{1}{10}\).
2. Pour \(a=-\frac{3}{4}\), \(b=-\frac{6}{7}\), \(c=-\frac{1}{2}\) : \(\displaystyle ab+bc = \frac{15}{14}\).
3. Pour \(a=-\frac{1}{3}\), \(b=-3\), \(c=\frac{1}{6}\) : \(\displaystyle ab+bc = \frac{1}{2}\).
4. Pour \(a=-\frac{2}{3}\), \(b=-\frac{5}{2}\), \(c=-\frac{3}{5}\) : \(\displaystyle ab+bc = \frac{19}{6}\).