Calculer et exprimer sous forme d’une fraction irréductible les expressions suivantes :
\[ \frac{2}{5} + \frac{3}{8} \cdot \left[\frac{1}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{12}{5}\right] \]
\[ -3 + \frac{2}{3} \cdot \left[-\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{5}{6} - 1\right] \]
\[ -3^{2} - \left(-\frac{2}{7}\right)^2 \cdot \frac{49}{8} - 2 \cdot \left[1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(-\frac{6}{5}\right)\right] \]
Réponses : 1) -7/80 2) -7/3 3) -377/30.
Voici la correction détaillée des trois expressions, avec toutes les étapes de calcul expliquées clairement :
Nous devons calculer et simplifier l’expression suivante :
\[ \frac{2}{5} + \frac{3}{8} \cdot \left[\frac{1}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{12}{5}\right] \]
Étape 1 : Calculer le produit dans le crochet
Calculons d’abord le produit :
\[ \frac{3}{4} \cdot \frac{12}{5} = \frac{3 \times 12}{4 \times 5} = \frac{36}{20}. \]
On peut simplifier cette fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 4 :
\[ \frac{36 \div 4}{20 \div 4} = \frac{9}{5}. \]
Étape 2 : Calculer la différence dans le crochet
Remplaçons le produit trouvé dans l’expression entre crochets :
\[ \frac{1}{2} - \frac{9}{5}. \]
Pour effectuer la soustraction, il faut trouver un dénominateur commun. Le plus petit commun multiple de 2 et 5 est 10 :
\[ \frac{1}{2} = \frac{5}{10} \quad \text{et} \quad \frac{9}{5} = \frac{18}{10}. \]
Ainsi,
\[ \frac{5}{10} - \frac{18}{10} = \frac{5 - 18}{10} = \frac{-13}{10}. \]
Étape 3 : Remplacer dans l’expression initiale
L’expression devient alors :
\[ \frac{2}{5} + \frac{3}{8} \cdot \frac{-13}{10} = \frac{2}{5} - \frac{3 \times 13}{8 \times 10} = \frac{2}{5} - \frac{39}{80}. \]
Étape 4 : Additionner les fractions
Trouvons un dénominateur commun pour additionner \(\frac{2}{5}\) et \(\frac{39}{80}\). On remarque que 80 est un multiple de 5, car :
\[ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 16}{5 \times 16} = \frac{32}{80}. \]
Donc :
\[ \frac{32}{80} - \frac{39}{80} = \frac{32 - 39}{80} = \frac{-7}{80}. \]
Réponse de l’exercice 1 : \(-\frac{7}{80}\).
Nous devons calculer et simplifier l’expression suivante :
\[ -3 + \frac{2}{3} \cdot \left[-\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{5}{6} - 1\right] \]
Étape 1 : Simplifier l’expression dans les crochets
Calculons d’abord le produit :
\[ 3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{6}. \]
On peut simplifier \(\frac{15}{6}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 :
\[ \frac{15 \div 3}{6 \div 3} = \frac{5}{2}. \]
L’expression dans les crochets devient alors :
\[ -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 1. \]
Additionnons les deux premières fractions :
\[ -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{4}{2} = 2. \]
Puis, en soustrayant 1 :
\[ 2 - 1 = 1. \]
Étape 2 : Remplacer dans l’expression initiale
L’expression devient :
\[ -3 + \frac{2}{3} \cdot 1 = -3 + \frac{2}{3}. \]
Étape 3 : Effectuer l’addition
Pour additionner \(-3\) et \(\frac{2}{3}\), écrivons -3 sous forme de fraction avec dénominateur 3 :
\[ -3 = -\frac{9}{3}. \]
Ainsi :
\[ -\frac{9}{3} + \frac{2}{3} = \frac{-9 + 2}{3} = \frac{-7}{3}. \]
Réponse de l’exercice 2 : \(-\frac{7}{3}\).
Nous devons calculer et simplifier l’expression suivante :
\[ -3^{2} - \left(-\frac{2}{7}\right)^2 \cdot \frac{49}{8} - 2 \cdot \left[1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(-\frac{6}{5}\right)\right] \]
Remarque importante :
L’expression \(-3^{2}\) se lit comme
\(-\left(3^{2}\right)\), ce qui
signifie que l’exposant s’applique uniquement à 3.
Étape 1 : Calcul de \(-3^{2}\)
\[ 3^{2} = 9 \quad \Rightarrow \quad -3^{2} = -9. \]
Étape 2 : Calcul du deuxième terme
Commençons par calculer :
\[ \left(-\frac{2}{7}\right)^2 = \left(\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{2^2}{7^2} = \frac{4}{49}. \]
Ensuite, multiplions par \(\frac{49}{8}\) :
\[ \frac{4}{49} \cdot \frac{49}{8} = \frac{4 \cdot 49}{49 \cdot 8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}. \]
Le signe est maintenu (négation devant le terme) :
\[ -\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}. \]
Étape 3 : Calcul du troisième terme
Nous devons maintenant développer :
\[ -2 \cdot \left[1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(-\frac{6}{5}\right)\right]. \]
Calculons d’abord \(\left(\frac{2}{3}\right)^2\) :
\[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}. \]
Multiplions ensuite par \(-\frac{6}{5}\) :
\[ \frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{6}{5}\right) = -\frac{24}{45}. \]
Simplifions \(-\frac{24}{45}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 :
\[ -\frac{24 \div 3}{45 \div 3} = -\frac{8}{15}. \]
L’expression dans les crochets devient :
\[ 1 - \left(-\frac{8}{15}\right) = 1 + \frac{8}{15}. \]
Pour additionner, transformons 1 en fraction avec dénominateur 15 :
\[ 1 = \frac{15}{15} \quad \Rightarrow \quad \frac{15}{15} + \frac{8}{15} = \frac{23}{15}. \]
Ensuite, multiplions par -2 :
\[ -2 \cdot \frac{23}{15} = -\frac{46}{15}. \]
Étape 4 : Regrouper tous les termes
Nous avons trois termes :
Pour les additionner, trouvons un dénominateur commun. Les dénominateurs sont 1, 2 et 15 ; le plus petit commun multiple est 30.
Convertissons chaque terme :
Additionnons :
\[ -\frac{270}{30} - \frac{15}{30} - \frac{92}{30} = -\frac{270 + 15 + 92}{30} = -\frac{377}{30}. \]
Réponse de l’exercice 3 : \(-\frac{377}{30}\).
\(-\frac{7}{80}\)
\(-\frac{7}{3}\)
\(-\frac{377}{30}\)
Chaque expression a ainsi été calculée étape par étape pour obtenir une fraction irréductible.