Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible :
\(\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{8} - \frac{4}{5} \cdot \frac{35}{14}\)
\(\left(-\frac{4}{7}\right) \cdot \frac{21}{2} + \left(-\frac{13}{2}\right) \cdot \left(-\frac{4}{39}\right)\)
\(\frac{12}{35} \cdot \frac{25}{36} - \left(-\frac{22}{49}\right) \cdot \frac{21}{36}\)
\(\left(-\frac{18}{121}\right) \cdot \left(-\frac{77}{45}\right) + \frac{135}{14} \cdot \left(-\frac{8}{27}\right)\)
Les réponses finales sont :
1) –19/12
2) –16/3
3) 1/2
4) –1002/385.
Voici la correction détaillée de chacune des questions.
\[ \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{8} - \frac{4}{5} \cdot \frac{35}{14} \]
Étape 1 : Calcul du premier produit
Nous multiplions les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : \[ \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{8} = \frac{2 \times 5}{3 \times 8} = \frac{10}{24}. \] On simplifie \(\frac{10}{24}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par 2 : \[ \frac{10 \div 2}{24 \div 2} = \frac{5}{12}. \]
Étape 2 : Calcul du second produit
De la même manière, on calcule : \[ \frac{4}{5} \cdot \frac{35}{14} = \frac{4 \times 35}{5 \times 14} = \frac{140}{70}. \] Ici, \(\frac{140}{70} = 2\).
Étape 3 : Soustraction
L’expression complète devient alors : \[ \frac{5}{12} - 2. \] Pour effectuer la soustraction, il faut écrire 2 sous la forme d’une fraction de dénominateur 12 : \[ 2 = \frac{2 \times 12}{12} = \frac{24}{12}. \] Ainsi, \[ \frac{5}{12} - \frac{24}{12} = \frac{5-24}{12} = \frac{-19}{12}. \]
Réponse de la question 1 : \(\displaystyle -\frac{19}{12}\).
\[ \left(-\frac{4}{7}\right) \cdot \frac{21}{2} + \left(-\frac{13}{2}\right) \cdot \left(-\frac{4}{39}\right) \]
Étape 1 : Premier produit
On calcule : \[ -\frac{4}{7} \cdot \frac{21}{2} = -\frac{4 \times 21}{7 \times 2} = -\frac{84}{14}. \] Simplifions \(\frac{84}{14}\) : \[ \frac{84}{14} = 6 \quad \text{donc} \quad -\frac{84}{14} = -6. \]
Étape 2 : Second produit
On calcule ensuite : \[ -\frac{13}{2} \cdot \left(-\frac{4}{39}\right). \] Le produit de deux nombres négatifs est positif, ainsi : \[ -\frac{13}{2} \cdot \left(-\frac{4}{39}\right) = \frac{13}{2} \cdot \frac{4}{39} = \frac{13 \times 4}{2 \times 39} = \frac{52}{78}. \] Pour simplifier \(\frac{52}{78}\), on divise numérateur et dénominateur par 26 ou par 13 : \[ \frac{52 \div 13}{78 \div 13} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \]
Étape 3 : Addition
Il faut additionner les deux résultats obtenus : \[ -6 + \frac{2}{3}. \] Pour effectuer cette addition, exprimons \(-6\) avec le dénominateur 3 : \[ -6 = -\frac{6 \times 3}{3} = -\frac{18}{3}. \] Ainsi, \[ -\frac{18}{3} + \frac{2}{3} = \frac{-18 + 2}{3} = \frac{-16}{3}. \]
Réponse de la question 2 : \(\displaystyle -\frac{16}{3}\).
\[ \frac{12}{35} \cdot \frac{25}{36} - \left(-\frac{22}{49}\right) \cdot \frac{21}{36} \]
Remarque sur le signe :
L’expression se lit « produit moins (produit avec un signe négatif) ».
Cela revient à ajouter le produit opposé : \[
\frac{12}{35} \cdot \frac{25}{36} + \frac{22}{49} \cdot \frac{21}{36}.
\]
Étape 1 : Calcul du premier produit
\[ \frac{12}{35} \cdot \frac{25}{36} = \frac{12 \times 25}{35 \times 36}. \] On peut simplifier avant de multiplier. Remarquons que \(12\) et \(36\) ont un facteur commun : \[ \frac{12}{36} = \frac{1}{3}. \] L’expression devient : \[ \frac{1 \times 25}{35 \times 3} = \frac{25}{105}. \] Ensuite, la fraction \(\frac{25}{105}\) se simplifie en divisant par 5 : \[ \frac{25 \div 5}{105 \div 5} = \frac{5}{21}. \]
Étape 2 : Calcul du second produit
\[ \frac{22}{49} \cdot \frac{21}{36} = \frac{22 \times 21}{49 \times 36}. \] Simplifions en remarquant que \(21\) et \(49\) ont un facteur commun : \[ 21 = 3 \times 7 \quad \text{et} \quad 49 = 7 \times 7, \] donc \(\frac{21}{49} = \frac{3}{7}\). L’expression devient : \[ \frac{22}{1} \cdot \frac{3}{7 \times 36} = \frac{22 \times 3}{7 \times 36} = \frac{66}{252}. \] Simplifions \(\frac{66}{252}\) en divisant numérateur et dénominateur par 6 : \[ \frac{66 \div 6}{252 \div 6} = \frac{11}{42}. \]
Étape 3 : Addition des deux résultats
Additionnons \(\frac{5}{21}\) et \(\frac{11}{42}\). Pour additionner ces fractions, mettons-les sur le même dénominateur : \[ \frac{5}{21} = \frac{5 \times 2}{21 \times 2} = \frac{10}{42}. \] Ainsi, \[ \frac{10}{42} + \frac{11}{42} = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}. \]
Réponse de la question 3 : \(\displaystyle \frac{1}{2}\).
\[ \left(-\frac{18}{121}\right) \cdot \left(-\frac{77}{45}\right) + \frac{135}{14} \cdot \left(-\frac{8}{27}\right) \]
Étape 1 : Calcul du premier produit
Le produit de deux nombres négatifs est positif : \[ -\frac{18}{121} \cdot \left(-\frac{77}{45}\right) = \frac{18}{121} \cdot \frac{77}{45}. \] Pour simplifier, cherchons des facteurs communs.
D’abord, simplifions entre \(18\) et \(45\) : \[ 18 \div 9 = 2 \quad \text{et} \quad 45 \div 9 = 5, \] donc la partie devient \(\frac{2}{5}\).
Ensuite, regardons \(\frac{77}{121}\) : \[ 77 = 7 \times 11 \quad \text{et} \quad 121 = 11 \times 11, \] ainsi \(\frac{77}{121} = \frac{7}{11}\).
On a alors : \[ \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{11} = \frac{2 \times 7}{5 \times 11} = \frac{14}{55}. \]
Étape 2 : Calcul du second produit
\[ \frac{135}{14} \cdot \left(-\frac{8}{27}\right) = -\frac{135 \times 8}{14 \times 27}. \] Simplifions en remarquant que \(135\) et \(27\) ont un facteur commun : \[ 135 \div 27 = 5 \quad \text{(car } 27 \times 5 = 135\text{)}. \] Ainsi, le produit se transforme en : \[ -\frac{5 \times 8}{14} = -\frac{40}{14}. \] On peut ensuite simplifier en divisant par 2 : \[ -\frac{40 \div 2}{14 \div 2} = -\frac{20}{7}. \]
Étape 3 : Addition des deux résultats
Nous avons obtenu : \[ \text{Premier produit} = \frac{14}{55} \quad \text{et} \quad \text{Second produit} = -\frac{20}{7}. \] L’addition se fait : \[ \frac{14}{55} - \frac{20}{7}. \] Pour additionner, nous cherchons un dénominateur commun. Le produit des dénominateurs \(55 \times 7 = 385\) convient.
Écrivons chaque fraction avec le dénominateur 385 : \[ \frac{14}{55} = \frac{14 \times 7}{55 \times 7} = \frac{98}{385}, \] \[ \frac{20}{7} = \frac{20 \times 55}{7 \times 55} = \frac{1100}{385}. \] Ainsi, \[ \frac{98}{385} - \frac{1100}{385} = \frac{98-1100}{385} = \frac{-1002}{385}. \]
Vérifions si \(\frac{1002}{385}\) se
simplifie.
Décomposons : - \(1002 = 2 \times 3 \times
167\) (les nombres 2, 3 et 167 étant premiers), - \(385 = 5 \times 7 \times 11\).
Aucun facteur commun n’est présent, la fraction est donc irréductible.
Réponse de la question 4 : \(\displaystyle -\frac{1002}{385}\).
Chaque étape a été détaillée afin de montrer la logique et les simplifications effectuées pour obtenir la forme irréductible des fractions.