Exercice 193

Exercice : Multiplication de fractions

Calculer et exprimer chaque résultat sous forme d’une fraction irréductible :

\(\left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{5}{8}\right)\)
\(\left(-\frac{12}{15}\right) \times \left(-\frac{5}{6}\right)\)
\(\left(\frac{49}{15}\right) \times \left(\frac{25}{14}\right)\)
\(\left(\frac{26}{25}\right) \times \left(\frac{10}{39}\right)\)
\(\left(\frac{4}{15}\right) \times \left(-\frac{20}{7}\right)\)
\(\left(-\frac{32}{27}\right) \times \left(-\frac{9}{8}\right)\)

Réponse

-5/12
2/3
35/6
4/15
-16/21
4/3

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque exercice étape par étape.

1) Calcul de \(\left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{5}{8}\right)\)

Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs

\[ \left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{5}{8}\right) = \frac{-2 \times 5}{3 \times 8} = \frac{-10}{24} \]

Étape 2 : Réduire la fraction

On cherche le plus grand diviseur commun (PGCD) entre 10 et 24, ici \(2\) :

\[ \frac{-10}{24} = \frac{-10 \div 2}{24 \div 2} = \frac{-5}{12} \]

Réponse : \(\displaystyle -\frac{5}{12}\)

2) Calcul de \(\left(-\frac{12}{15}\right) \times \left(-\frac{5}{6}\right)\)

Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs

\[ \left(-\frac{12}{15}\right) \times \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{(-12) \times (-5)}{15 \times 6} = \frac{60}{90} \]

Étape 2 : Réduire la fraction

Le diviseur commun de 60 et 90 est 30 :

\[ \frac{60}{90} = \frac{60 \div 30}{90 \div 30} = \frac{2}{3} \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{2}{3}\)

3) Calcul de \(\left(\frac{49}{15}\right) \times \left(\frac{25}{14}\right)\)

Étape 1 : Écrire le produit

\[ \left(\frac{49}{15}\right) \times \left(\frac{25}{14}\right) = \frac{49 \times 25}{15 \times 14} \]

Étape 2 : Simplifier avant de multiplier

On remarque que \(49\) et \(14\) ont un facteur commun : \(49 = 7 \times 7\) et \(14 = 7 \times 2\). On peut annuler un 7 :

\[ \frac{49 \times 25}{15 \times 14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 2} \]

Ensuite, \(25\) et \(15\) ont un facteur commun : \(25 = 5 \times 5\) et \(15 = 5 \times 3\). En simplifiant par 5 :

\[ \frac{7 \times 25}{15 \times 2} = \frac{7 \times 5}{3 \times 2} = \frac{35}{6} \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{35}{6}\)

4) Calcul de \(\left(\frac{26}{25}\right) \times \left(\frac{10}{39}\right)\)

Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs

\[ \frac{26}{25} \times \frac{10}{39} = \frac{26 \times 10}{25 \times 39} = \frac{260}{975} \]

Étape 2 : Réduire la fraction

Divisons numérateur et dénominateur par 5 :

\[ \frac{260}{975} = \frac{260 \div 5}{975 \div 5} = \frac{52}{195} \]

Ensuite, on note que \(52\) et \(195\) sont divisibles par 13 car \(52 = 13 \times 4\) et \(195 = 13 \times 15\) :

\[ \frac{52}{195} = \frac{4}{15} \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{4}{15}\)

5) Calcul de \(\left(\frac{4}{15}\right) \times \left(-\frac{20}{7}\right)\)

Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs

\[ \frac{4}{15} \times \left(-\frac{20}{7}\right) = \frac{4 \times (-20)}{15 \times 7} = \frac{-80}{105} \]

Étape 2 : Réduire la fraction

Cherchons le facteur commun. Divisons par 5 :

\[ \frac{-80}{105} = \frac{-80 \div 5}{105 \div 5} = \frac{-16}{21} \]

Réponse : \(\displaystyle -\frac{16}{21}\)

6) Calcul de \(\left(-\frac{32}{27}\right) \times \left(-\frac{9}{8}\right)\)

Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs

\[ \left(-\frac{32}{27}\right) \times \left(-\frac{9}{8}\right) = \frac{(-32) \times (-9)}{27 \times 8} = \frac{288}{216} \]

Étape 2 : Réduire la fraction

Divisons d’abord par 8 :

\[ \frac{288}{216} = \frac{288 \div 8}{216 \div 8} = \frac{36}{27} \]

Simplifions ensuite en divisant par 9 :

\[ \frac{36}{27} = \frac{36 \div 9}{27 \div 9} = \frac{4}{3} \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{4}{3}\)

Chaque exercice a été résolu en appliquant la règle de multiplication des fractions puis en simplifiant le résultat pour obtenir une fraction irréductible.