Exercice 192

Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

1. \(\left(+\frac{3}{2}\right) \cdot \left(+\frac{1}{5}\right)\)
2. \(\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(+\frac{2}{7}\right)\)
3. \(\left(-\frac{1}{4}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)\)
4. \(\left(+\frac{10}{7}\right) \cdot \left(-\frac{14}{5}\right)\)
5. \(\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-\frac{6}{7}\right)\)
6. \(\left(-\frac{5}{7}\right) \cdot \left(+\frac{14}{25}\right)\)

Réponse

Voici les réponses finales en résumé :

1. 3/10
   
2. -4/21
   
3. 3/20
   
4. -4
   
5. 9/14
   
6. -2/5

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacun des exercices :

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1. Calcul de \(\left(+\frac{3}{2}\right) \cdot \left(+\frac{1}{5}\right)\)

Étape 1 : Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

\[ \text{Numérateur : } 3 \times 1 = 3 \quad \text{et} \quad \text{Dénominateur : } 2 \times 5 = 10 \]

Étape 2 : On obtient :

\[ \frac{3}{10} \]

Cette fraction est déjà irréductible.

Résultat : \(\displaystyle \frac{3}{10}\)

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2. Calcul de \(\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(+\frac{2}{7}\right)\)

Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs :

\[ \text{Numérateur : } (-2) \times 2 = -4 \quad \text{et} \quad \text{Dénominateur : } 3 \times 7 = 21 \]

Étape 2 : On obtient la fraction :

\[ \frac{-4}{21} \quad \text{ou} \quad -\frac{4}{21} \]

La fraction est irréductible car 4 et 21 n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

Résultat : \(\displaystyle -\frac{4}{21}\)

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3. Calcul de \(\left(-\frac{1}{4}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)\)

Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs :

\[ \text{Numérateur : } (-1) \times (-3) = 3 \quad \text{(un produit de deux nombres négatifs est positif)} \] \[ \text{Dénominateur : } 4 \times 5 = 20 \]

Étape 2 : On obtient la fraction :

\[ \frac{3}{20} \]

La fraction \(\frac{3}{20}\) est déjà irréductible.

Résultat : \(\displaystyle \frac{3}{20}\)

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4. Calcul de \(\left(+\frac{10}{7}\right) \cdot \left(-\frac{14}{5}\right)\)

Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs :

\[ \text{Numérateur : } 10 \times (-14) = -140 \] \[ \text{Dénominateur : } 7 \times 5 = 35 \]

Étape 2 : On a alors :

\[ \frac{-140}{35} \]

Étape 3 : Réduire la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, ici \(35\) :

\[ \frac{-140 \div 35}{35 \div 35} = \frac{-4}{1} \]

Cela revient à \(-4\).

Résultat : \(\displaystyle -4\) ou \(-\frac{4}{1}\)

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5. Calcul de \(\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-\frac{6}{7}\right)\)

Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs :

\[ \text{Numérateur : } (-3) \times (-6) = 18 \] \[ \text{Dénominateur : } 4 \times 7 = 28 \]

Étape 2 : On obtient :

\[ \frac{18}{28} \]

Étape 3 : Simplifier la fraction. On remarque que 18 et 28 ont un facteur commun de 2 :

\[ \frac{18 \div 2}{28 \div 2} = \frac{9}{14} \]

La fraction \(\frac{9}{14}\) est irréductible.

Résultat : \(\displaystyle \frac{9}{14}\)

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6. Calcul de \(\left(-\frac{5}{7}\right) \cdot \left(+\frac{14}{25}\right)\)

Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs :

\[ \text{Numérateur : } (-5) \times 14 = -70 \] \[ \text{Dénominateur : } 7 \times 25 = 175 \]

Étape 2 : On obtient :

\[ \frac{-70}{175} \]

Étape 3 : Simplifier la fraction. Le numérateur et le dénominateur se divisent par 35 :

\[ \frac{-70 \div 35}{175 \div 35} = \frac{-2}{5} \]

La fraction \(-\frac{2}{5}\) est irréductible.

Résultat : \(\displaystyle -\frac{2}{5}\)

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Résumé des réponses

1. \(\displaystyle \frac{3}{10}\)
2. \(\displaystyle -\frac{4}{21}\)
3. \(\displaystyle \frac{3}{20}\)
4. \(\displaystyle -4\) (ou \(-\frac{4}{1}\))
5. \(\displaystyle \frac{9}{14}\)
6. \(\displaystyle -\frac{2}{5}\)

Ces étapes montrent la méthode pour multiplier des fractions et simplifier le résultat final.