Exercice 191

Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

1. \(\left(-\frac{11}{24}\right) \cdot \left(\frac{16}{55}\right)\)
2. \(\left(\frac{21}{49}\right) \cdot \left(-\frac{32}{40}\right)\)
3. \(\left(-\frac{14}{3}\right) \cdot \left(-\frac{9}{2}\right)\)
4. \(\left(\frac{4}{7}\right) \cdot (-14)\)
5. \(3 \cdot \left(-\frac{4}{39}\right)\)
6. \(\left(-\frac{10}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{10}\right)\)

Réponse

Les réponses sont :
1. –2/15
2. –12/35
3. 21
4. –8
5. –4/13
6. 1

Corrigé détaillé

Voici la correction complète et détaillée pour chaque calcul :

---

1. Calcul de \(\left(-\frac{11}{24}\right) \cdot \left(\frac{16}{55}\right)\)

Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs

\[ \left(-\frac{11}{24}\right) \cdot \left(\frac{16}{55}\right) = \frac{-11 \times 16}{24 \times 55} = \frac{-176}{1320} \]

Étape 2 : Simplifier la fraction

On peut simplifier en cherchant un facteur commun entre 176 et 1320.

• On remarque que 11 divise 176 : \[ 176 \div 11 = 16 \] et 11 divise aussi 1320 : \[ 1320 \div 11 = 120 \]

On obtient :

\[ \frac{-176}{1320} = \frac{-16}{120} \]

• Ensuite, on peut diviser numérateur et dénominateur par 8 : \[ 16 \div 8 = 2 \quad \text{et} \quad 120 \div 8 = 15 \]

Ainsi,

\[ \frac{-16}{120} = \frac{-2}{15} \]

Résultat : \(\displaystyle -\frac{2}{15}\)

---

2. Calcul de \(\left(\frac{21}{49}\right) \cdot \left(-\frac{32}{40}\right)\)

Étape 1 : Simplifier chaque fraction si possible

• Pour \(\frac{21}{49}\) :
  On peut diviser numérateur et dénominateur par 7. \[ \frac{21}{49} = \frac{21 \div 7}{49 \div 7} = \frac{3}{7} \]

• Pour \(-\frac{32}{40}\) :
  On peut diviser numérateur et dénominateur par 8. \[ -\frac{32}{40} = -\frac{32 \div 8}{40 \div 8} = -\frac{4}{5} \]

Étape 2 : Multiplier les fractions simplifiées

\[ \frac{3}{7} \times \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3 \times (-4)}{7 \times 5} = \frac{-12}{35} \]

Résultat : \(\displaystyle -\frac{12}{35}\)

---

3. Calcul de \(\left(-\frac{14}{3}\right) \cdot \left(-\frac{9}{2}\right)\)

Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs

\[ \left(-\frac{14}{3}\right) \cdot \left(-\frac{9}{2}\right) = \frac{(-14) \times (-9)}{3 \times 2} = \frac{126}{6} \]

Étape 2 : Simplifier la fraction

\[ \frac{126}{6} = 21 \]

Résultat : \(\displaystyle 21\)
(On peut écrire \(21\) sous forme de fraction irréductible comme \(\frac{21}{1}\), mais l’écrire \(21\) est tout à fait acceptable.)

---

4. Calcul de \(\left(\frac{4}{7}\right) \cdot (-14)\)

Étape 1 : Écrire \(-14\) sous forme de fraction

\[ -14 = -\frac{14}{1} \]

Étape 2 : Multiplier les fractions

\[ \frac{4}{7} \times \left(-\frac{14}{1}\right) = \frac{4 \times (-14)}{7 \times 1} = \frac{-56}{7} \]

Étape 3 : Simplifier la fraction

\[ \frac{-56}{7} = -8 \]

Résultat : \(\displaystyle -8\)

---

5. Calcul de \(3 \cdot \left(-\frac{4}{39}\right)\)

Étape 1 : Écrire \(3\) sous forme de fraction

\[ 3 = \frac{3}{1} \]

Étape 2 : Multiplier les fractions

\[ \frac{3}{1} \times \left(-\frac{4}{39}\right) = \frac{3 \times (-4)}{1 \times 39} = \frac{-12}{39} \]

Étape 3 : Simplifier la fraction

On peut diviser numérateur et dénominateur par 3 :

\[ \frac{-12}{39} = \frac{-12 \div 3}{39 \div 3} = \frac{-4}{13} \]

Résultat : \(\displaystyle -\frac{4}{13}\)

---

6. Calcul de \(\left(-\frac{10}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{10}\right)\)

Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs

\[ \left(-\frac{10}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{10}\right) = \frac{(-10) \times (-3)}{3 \times 10} = \frac{30}{30} \]

Étape 2 : Simplifier la fraction

\[ \frac{30}{30} = 1 \]

Résultat : \(\displaystyle 1\)

---

Résumé des réponses

1. \(\displaystyle -\frac{2}{15}\)
   
2. \(\displaystyle -\frac{12}{35}\)
   
3. \(\displaystyle 21\)
   
4. \(\displaystyle -8\)
   
5. \(\displaystyle -\frac{4}{13}\)
   
6. \(\displaystyle 1\)

Chaque résultat est donné sous forme d’une fraction irréductible (ou d’un nombre entier équivalent).