Calculer et exprimer chaque résultat sous forme de fraction irréductible :
Réponses : 1. –17/6
2. 11/35
3. –3/40
4. –113/108
5. 11/30
6. –317/140
Voici la correction détaillée de chaque calcul :
Nous devons faire la somme de \(\frac{2}{3}\) et \(-\frac{7}{2}\). Pour additionner deux fractions, il faut les écrire avec un dénominateur commun.
Trouver un dénominateur commun :
Les dénominateurs sont 3 et 2. Le plus petit commun multiple est \(6\).
Écrire chaque fraction avec le dénominateur 6
:
\[
\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \quad
\text{et} \quad \frac{7}{2} = \frac{7 \times 3}{2 \times 3} =
\frac{21}{6}
\] Attention : la deuxième fraction est
négative.
Réaliser la soustraction :
\[
\frac{4}{6} + \left(-\frac{21}{6}\right) = \frac{4 - 21}{6} =
\frac{-17}{6}
\] La fraction \(\frac{-17}{6}\)
est irréductible.
Réponse (1) : \(\displaystyle \frac{-17}{6}\)
Ici, nous effectuons la soustraction \(\frac{3}{5} - \frac{2}{7}\).
Trouver un dénominateur commun :
Les dénominateurs 5 et 7 ont pour plus petit commun multiple \(35\).
Écrire chaque fraction avec le dénominateur 35
:
\[
\frac{3}{5} = \frac{3 \times 7}{5 \times 7} = \frac{21}{35} \quad
\text{et} \quad \frac{2}{7} = \frac{2 \times 5}{7 \times 5} =
\frac{10}{35}
\]
Effectuer la soustraction :
\[
\frac{21}{35} - \frac{10}{35} = \frac{21 - 10}{35} = \frac{11}{35}
\] La fraction \(\frac{11}{35}\)
ne peut pas être simplifiée davantage.
Réponse (2) : \(\displaystyle \frac{11}{35}\)
Trouver un dénominateur commun :
Les dénominateurs 8 et 5 ont pour plus petit commun multiple \(40\).
Réécrire les fractions avec ce dénominateur
:
\[
-\frac{7}{8} = -\frac{7 \times 5}{8 \times 5} = -\frac{35}{40} \quad
\text{et} \quad \frac{4}{5} = \frac{4 \times 8}{5 \times 8} =
\frac{32}{40}
\]
Additionner les fractions :
\[
-\frac{35}{40} + \frac{32}{40} = \frac{-35 + 32}{40} = \frac{-3}{40}
\] La fraction est déjà irréductible.
Réponse (3) : \(\displaystyle \frac{-3}{40}\)
On commence par réécrire l’opération en tenant compte des signes :
\[ -\frac{32}{27} - \left(-\frac{5}{36}\right) = -\frac{32}{27} + \frac{5}{36} \]
Trouver un dénominateur commun :
Les dénominateurs 27 et 36 se décomposent en :
Mettre les fractions sous le même dénominateur
:
\[
-\frac{32}{27} = -\frac{32 \times 4}{27 \times 4} = -\frac{128}{108}
\] \[
\frac{5}{36} = \frac{5 \times 3}{36 \times 3} = \frac{15}{108}
\]
Additionner les fractions :
\[
-\frac{128}{108} + \frac{15}{108} = \frac{-128 + 15}{108} =
\frac{-113}{108}
\] Comme 113 est un nombre premier et ne divise pas 108, la
fraction est irréductible.
Réponse (4) : \(\displaystyle \frac{-113}{108}\)
Trouver un dénominateur commun :
Les dénominateurs sont 2, 3 et 5. Le plus petit commun multiple est
\(30\).
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur 30
:
\[
\frac{1}{2} = \frac{1 \times 15}{2 \times 15} = \frac{15}{30}
\] \[
\frac{2}{3} = \frac{2 \times 10}{3 \times 10} = \frac{20}{30}
\] \[
\frac{4}{5} = \frac{4 \times 6}{5 \times 6} = \frac{24}{30} \quad
\text{(attention au signe négatif)}
\]
Effectuer l’addition :
\[
\frac{15}{30} + \frac{20}{30} - \frac{24}{30} = \frac{15 + 20 - 24}{30}
= \frac{11}{30}
\] La fraction \(\frac{11}{30}\)
est irréductible.
Réponse (5) : \(\displaystyle \frac{11}{30}\)
Trouver un dénominateur commun :
Les dénominateurs sont 5, 4 et 7. Le plus petit commun multiple est
\(5 \times 4 \times 7 = 140\).
Écrire chaque fraction avec le dénominateur 140
:
\[
-\frac{4}{5} = -\frac{4 \times 28}{5 \times 28} = -\frac{112}{140}
\] \[
-\frac{7}{4} = -\frac{7 \times 35}{4 \times 35} = -\frac{245}{140}
\] \[
\frac{2}{7} = \frac{2 \times 20}{7 \times 20} = \frac{40}{140}
\]
Effectuer l’addition :
\[
-\frac{112}{140} - \frac{245}{140} + \frac{40}{140} = \frac{-112 - 245 +
40}{140} = \frac{-317}{140}
\] Comme 317 n’a aucun facteur commun avec 140, la fraction \(\frac{-317}{140}\) est
irréductible.
Réponse (6) : \(\displaystyle \frac{-317}{140}\)
Ces corrections montrent étape par étape comment trouver un dénominateur commun, transformer les fractions et réaliser les opérations tout en simplifiant le résultat final.