Exercice 188

Exercice

Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

1. \(-5 + \dfrac{7}{6}\)

2. \(-\dfrac{3}{4} - \dfrac{6}{9}\)

3. \(-\dfrac{5}{8} - \dfrac{19}{12}\)

4. \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{16}\)

5. \(-\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{15}\)

6. \(-\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{5}\)

Réponse

Les réponses finales sont :

1. –23/6
   
2. –17/12
   
3. –53/24
   
4. 7/16
   
5. 1/5
   
6. –37/20

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque question :

---

1) Calcul de \(-5 + \dfrac{7}{6}\)

1. Transformer le nombre entier en fraction
   On écrit \(-5\) sous forme de fraction en s’assurant que le dénominateur soit 6 (pour pouvoir additionner avec \(\frac{7}{6}\)) :
   \[ -5 = -5 \times \frac{6}{6} = -\frac{30}{6}. \]
2. Additionner les fractions
   On additionne ensuite :
   \[ -\frac{30}{6} + \frac{7}{6} = \frac{-30 + 7}{6} = \frac{-23}{6}. \]

Réponse :
\[ -\frac{23}{6} \]

---

2) Calcul de \(-\dfrac{3}{4} - \dfrac{6}{9}\)

1. Simplifier les fractions si possible
   Pour \(\frac{6}{9}\), on peut diviser le numérateur et le dénominateur par 3 :
   \[ \frac{6}{9} = \frac{2}{3}. \] L’expression devient alors :
   \[ -\frac{3}{4} - \frac{2}{3}. \]
2. Trouver un dénominateur commun
   Les dénominateurs sont 4 et 3. Le plus petit commun multiple (PPCM) est 12.
   \[ -\frac{3}{4} = -\frac{3 \times 3}{4 \times 3} = -\frac{9}{12}, \quad \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}. \]
3. Effectuer l’opération
   \[ -\frac{9}{12} - \frac{8}{12} = -\frac{9+8}{12} = -\frac{17}{12}. \]

Réponse :
\[ -\frac{17}{12} \]

---

3) Calcul de \(-\dfrac{5}{8} - \dfrac{19}{12}\)

1. Trouver un dénominateur commun
   Les dénominateurs sont 8 et 12. Le plus petit commun multiple de 8 et 12 est 24.
   \[ -\frac{5}{8} = -\frac{5 \times 3}{8 \times 3} = -\frac{15}{24}, \quad \frac{19}{12} = \frac{19 \times 2}{12 \times 2} = \frac{38}{24}. \]
2. Effectuer la soustraction
   \[ -\frac{15}{24} - \frac{38}{24} = -\frac{15+38}{24} = -\frac{53}{24}. \]

Réponse :
\[ -\frac{53}{24} \]

---

4) Calcul de \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{16}\)

1. Trouver un dénominateur commun
   Les dénominateurs sont 4 et 16. Le dénominateur commun est 16 (puisque \(4 \times 4 = 16\)).
   \[ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 4}{4 \times 4} = \frac{12}{16}. \]
2. Effectuer la soustraction
   \[ \frac{12}{16} - \frac{5}{16} = \frac{12-5}{16} = \frac{7}{16}. \]

Réponse :
\[ \frac{7}{16} \]

---

5) Calcul de \(-\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{15}\)

1. Trouver un dénominateur commun
   Les dénominateurs sont 5, 3 et 15. Le dénominateur commun est 15.
   \[ -\frac{1}{5} = -\frac{1 \times 3}{5 \times 3} = -\frac{3}{15},\quad \frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15}. \]
2. Additionner les fractions
   \[ -\frac{3}{15} + \frac{5}{15} + \frac{1}{15} = \frac{-3 + 5 + 1}{15} = \frac{3}{15}. \]
3. Simplifier la fraction
   \[ \frac{3}{15} = \frac{3 \div 3}{15 \div 3} = \frac{1}{5}. \]

Réponse :
\[ \frac{1}{5} \]

---

6) Calcul de \(-\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{5}\)

1. Trouver un dénominateur commun
   Les dénominateurs sont 2, 4 et 5. Le plus petit commun multiple est 20.
   \[ -\frac{3}{2} = -\frac{3 \times 10}{2 \times 10} = -\frac{30}{20},\quad \frac{1}{4} = \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{5}{20},\quad -\frac{3}{5} = -\frac{3 \times 4}{5 \times 4} = -\frac{12}{20}. \]
2. Effectuer l’opération
   \[ -\frac{30}{20} + \frac{5}{20} - \frac{12}{20} = \frac{-30 + 5 - 12}{20} = \frac{-37}{20}. \]

Réponse :
\[ -\frac{37}{20} \]

---

Ainsi, les résultats sous forme de fractions irréductibles sont :

1. \(-\frac{23}{6}\)
   
2. \(-\frac{17}{12}\)
   
3. \(-\frac{53}{24}\)
   
4. \(\frac{7}{16}\)
   
5. \(\frac{1}{5}\)
   
6. \(-\frac{37}{20}\)