Exercice 176

Exercice :

Pour chacun des cas suivants, une fraction de l’aire d’un rectangle est donnée. Déterminez l’aire totale du rectangle.

1. \(\frac{3}{5}\) de l’aire mesure \(150\,\mathrm{m}^2\).
2. \(\frac{6}{7}\) de l’aire mesure \(450\,\mathrm{m}^2\).
3. \(\frac{3}{7}\) de l’aire mesure \(2100\,\mathrm{cm}^2\).
4. \(\frac{4}{5}\) de l’aire mesure \(280\,\mathrm{cm}^2\).
5. \(\frac{2}{3}\) de l’aire mesure \(44\,\mathrm{m}^2\).
6. \(\frac{3}{4}\) de l’aire mesure \(72\,\mathrm{m}^2\).

Réponse

1. L’aire totale est 250 m².
   
2. L’aire totale est 525 m².
   
3. L’aire totale est 4900 cm².
   
4. L’aire totale est 350 cm².
   
5. L’aire totale est 66 m².
   
6. L’aire totale est 96 m².

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque cas :

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Rappel de la méthode

On dispose d’une fraction de l’aire totale du rectangle. Si on note \(A\) l’aire totale, et si une fraction \(\frac{a}{b}\) de \(A\) est donnée (mesurée en unités), on a l’équation :

\[ \frac{a}{b} \times A = \text{valeur donnée} \]

Pour trouver \(A\), on isole \(A\) en multipliant de part et d’autre par l’inverse de \(\frac{a}{b}\), c’est-à-dire par \(\frac{b}{a}\) :

\[ A = \text{valeur donnée} \times \frac{b}{a} \]

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Exercice

1. \(\dfrac{3}{5}\) de l’aire mesure \(150\,\mathrm{m}^2\).

L’équation est : \[ \frac{3}{5} \times A = 150 \]

Pour trouver \(A\) : \[ A = 150 \times \frac{5}{3} \]

Calculons : \[ 150 \times \frac{5}{3} = 150 \times 1,\overline{6} = 250 \]

Donc, l’aire totale est : \[ A = 250\,\mathrm{m}^2. \]

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2. \(\dfrac{6}{7}\) de l’aire mesure \(450\,\mathrm{m}^2\).

L’équation est : \[ \frac{6}{7} \times A = 450 \]

Pour trouver \(A\) : \[ A = 450 \times \frac{7}{6} \]

Calculons : \[ 450 \times \frac{7}{6} = 450 \times 1,1666... = 525 \]

Donc, l’aire totale est : \[ A = 525\,\mathrm{m}^2. \]

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3. \(\dfrac{3}{7}\) de l’aire mesure \(2100\,\mathrm{cm}^2\).

L’équation est : \[ \frac{3}{7} \times A = 2100 \]

Pour trouver \(A\) : \[ A = 2100 \times \frac{7}{3} \]

Calculons : \[ 2100 \times \frac{7}{3} = 2100 \times 2,\overline{3} \; (2,33...) = 4900 \]

Donc, l’aire totale est : \[ A = 4900\,\mathrm{cm}^2. \]

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4. \(\dfrac{4}{5}\) de l’aire mesure \(280\,\mathrm{cm}^2\).

L’équation est : \[ \frac{4}{5} \times A = 280 \]

Pour trouver \(A\) : \[ A = 280 \times \frac{5}{4} \]

Calculons : \[ 280 \times \frac{5}{4} = 280 \times 1,25 = 350 \]

Donc, l’aire totale est : \[ A = 350\,\mathrm{cm}^2. \]

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5. \(\dfrac{2}{3}\) de l’aire mesure \(44\,\mathrm{m}^2\).

L’équation est : \[ \frac{2}{3} \times A = 44 \]

Pour trouver \(A\) : \[ A = 44 \times \frac{3}{2} \]

Calculons : \[ 44 \times \frac{3}{2} = 44 \times 1,5 = 66 \]

Donc, l’aire totale est : \[ A = 66\,\mathrm{m}^2. \]

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6. \(\dfrac{3}{4}\) de l’aire mesure \(72\,\mathrm{m}^2\).

L’équation est : \[ \frac{3}{4} \times A = 72 \]

Pour trouver \(A\) : \[ A = 72 \times \frac{4}{3} \]

Calculons : \[ 72 \times \frac{4}{3} = 72 \times 1,\overline{3} = 96 \]

Donc, l’aire totale est : \[ A = 96\,\mathrm{m}^2. \]

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Conclusion

Les aires totales des rectangles sont donc :

1. \(250\,\mathrm{m}^2\)
2. \(525\,\mathrm{m}^2\)
3. \(4900\,\mathrm{cm}^2\)
4. \(350\,\mathrm{cm}^2\)
5. \(66\,\mathrm{m}^2\)
6. \(96\,\mathrm{m}^2\)

Chaque exercice suit la même méthode : isoler \(A\) en divisant par la fraction donnée ou en multipliant par l’inverse de la fraction.