Calculer la valeur de \(\frac{x+2y}{x-2y}\) dans les cas suivants :
Exprimer le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
Cas 1 : (4/5 + 2×1/15) / (4/5 − 2×1/15) = 7/5
Cas 2 : (7/9 + 2×1/6) / (7/9 − 2×1/6) = 5/2
Cas 3 : (7/3 + 2×1/2) / (7/3 − 2×1/2) = 5/2
Cas 4 : (2/9 + 2×1/24) / (2/9 − 2×1/24) = 11/5
Nous devons calculer l’expression
\[ \frac{x + 2y}{x - 2y} \]
pour différentes valeurs de \(x\) et \(y\). Pour chaque cas, nous allons déterminer séparément le numérateur \(x + 2y\) et le dénominateur \(x - 2y\), puis simplifier le quotient.
Calcul du numérateur
\[ x + 2y = \frac{4}{5} + 2 \times \frac{1}{15} \]
Calculons \(2 \times \frac{1}{15} =
\frac{2}{15}\).
Pour additionner, mettons \(\frac{4}{5}\) sur un dénominateur
commun.
Comme \(5 \times 3 = 15\), on a :
\[ \frac{4}{5} = \frac{4 \times 3}{5 \times 3} = \frac{12}{15} \]
Ainsi,
\[ x + 2y = \frac{12}{15} + \frac{2}{15} = \frac{14}{15} \]
Calcul du dénominateur
\[ x - 2y = \frac{4}{5} - \frac{2}{15} \]
De même, \(\frac{4}{5} = \frac{12}{15}\) et donc :
\[ x - 2y = \frac{12}{15} - \frac{2}{15} = \frac{10}{15} \]
Calcul du quotient
\[ \frac{x + 2y}{x - 2y} = \frac{\frac{14}{15}}{\frac{10}{15}} = \frac{14}{15} \times \frac{15}{10} \]
On peut simplifier le \(15\) :
\[ = \frac{14}{10} = \frac{7}{5} \]
Réponse pour le cas 1 : \(\displaystyle \frac{7}{5}\).
Calcul du numérateur
\[ x + 2y = \frac{7}{9} + 2 \times \frac{1}{6} \]
Calculons \(2 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). Ainsi :
\[ x + 2y = \frac{7}{9} + \frac{1}{3} \]
Pour ajouter, exprimons \(\frac{1}{3}\) avec le dénominateur \(9\) :
\[ \frac{1}{3} = \frac{3}{9} \]
Donc,
\[ x + 2y = \frac{7}{9} + \frac{3}{9} = \frac{10}{9} \]
Calcul du dénominateur
\[ x - 2y = \frac{7}{9} - \frac{1}{3} \]
Encore une fois, \(\frac{1}{3} = \frac{3}{9}\) :
\[ x - 2y = \frac{7}{9} - \frac{3}{9} = \frac{4}{9} \]
Calcul du quotient
\[ \frac{x + 2y}{x - 2y} = \frac{\frac{10}{9}}{\frac{4}{9}} = \frac{10}{9} \times \frac{9}{4} \]
En simplifiant :
\[ = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \]
Réponse pour le cas 2 : \(\displaystyle \frac{5}{2}\).
Calcul du numérateur
\[ x + 2y = \frac{7}{3} + 2 \times \frac{1}{2} \]
Ici, \(2 \times \frac{1}{2} = 1\), donc :
\[ x + 2y = \frac{7}{3} + 1 = \frac{7}{3} + \frac{3}{3} = \frac{10}{3} \]
Calcul du dénominateur
\[ x - 2y = \frac{7}{3} - 1 = \frac{7}{3} - \frac{3}{3} = \frac{4}{3} \]
Calcul du quotient
\[ \frac{x + 2y}{x - 2y} = \frac{\frac{10}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{10}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \]
Réponse pour le cas 3 : \(\displaystyle \frac{5}{2}\).
Calcul du numérateur
\[ x + 2y = \frac{2}{9} + 2 \times \frac{1}{24} \]
Calculons \(2 \times \frac{1}{24} =
\frac{2}{24} = \frac{1}{12}\).
Pour additionner \(\frac{2}{9}\) et
\(\frac{1}{12}\), trouvons un
dénominateur commun.
Le plus petit commun multiple de \(9\)
et \(12\) est \(36\).
Transformons les fractions :
\[ \frac{2}{9} = \frac{2 \times 4}{9 \times 4} = \frac{8}{36} \quad \text{et} \quad \frac{1}{12} = \frac{1 \times 3}{12 \times 3} = \frac{3}{36} \]
Ainsi,
\[ x + 2y = \frac{8}{36} + \frac{3}{36} = \frac{11}{36} \]
Calcul du dénominateur
\[ x - 2y = \frac{2}{9} - 2 \times \frac{1}{24} = \frac{2}{9} - \frac{1}{12} \]
Convertissons de nouveau en dénominateur \(36\) :
\[ \frac{2}{9} = \frac{8}{36} \quad \text{et} \quad \frac{1}{12} = \frac{3}{36} \]
Alors,
\[ x - 2y = \frac{8}{36} - \frac{3}{36} = \frac{5}{36} \]
Calcul du quotient
\[ \frac{x + 2y}{x - 2y} = \frac{\frac{11}{36}}{\frac{5}{36}} = \frac{11}{36} \times \frac{36}{5} = \frac{11}{5} \]
Réponse pour le cas 4 : \(\displaystyle \frac{11}{5}\).
Chaque résultat est exprimé sous forme d’une fraction irréductible.