Soit \[ \frac{x+y}{xy}. \] Calculer sa valeur pour chacun des cas suivants et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :
Cas 1 : 6
Cas 2 : 25/6
Cas 3 : 21/2
Cas 4 : 3
Nous avons l’expression \[ \frac{x+y}{xy}. \] Pour chaque cas, nous allons remplacer \(x\) et \(y\) par leurs valeurs, simplifier le numérateur et le dénominateur, puis effectuer la division en multipliant par l’inverse du dénominateur. Voyons cela étape par étape.
Calcul du numérateur : \[ x+y = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}. \] Pour additionner, nous mettons sur un dénominateur commun : \[ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \quad \text{donc} \quad \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}. \]
Calcul du dénominateur : \[ xy = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}. \]
Division (numérateur sur dénominateur) : \[ \frac{x+y}{xy} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{1}. \] En multipliant : \[ \frac{3 \times 8}{4} = \frac{24}{4} = 6. \]
Résultat cas 1 : \(6\) (qu’on peut aussi écrire \(\frac{6}{1}\)).
Calcul du numérateur : \[ x+y = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3+2}{5} = \frac{5}{5} = 1. \]
Calcul du dénominateur : \[ xy = \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{25}. \]
Division : \[ \frac{x+y}{xy} = \frac{1}{\frac{6}{25}} = 1 \times \frac{25}{6} = \frac{25}{6}. \]
Résultat cas 2 : \(\frac{25}{6}\).
Calcul du numérateur : \[ x+y = \frac{1}{6} + \frac{2}{9}. \] Trouvons un dénominateur commun. Le plus petit commun multiple de 6 et 9 est 18 : \[ \frac{1}{6} = \frac{3}{18} \quad \text{et} \quad \frac{2}{9} = \frac{4}{18}. \] Ainsi : \[ \frac{3}{18}+\frac{4}{18}=\frac{7}{18}. \]
Calcul du dénominateur : \[ xy = \frac{1}{6} \times \frac{2}{9} = \frac{2}{54} = \frac{1}{27}. \]
Division : \[ \frac{x+y}{xy} = \frac{\frac{7}{18}}{\frac{1}{27}} = \frac{7}{18} \times \frac{27}{1}. \] Simplifions en remarquant que \(27 \div 9 = 3\) et \(18 \div 9 = 2\) : \[ = \frac{7 \times 27}{18} = \frac{7 \times 3}{2} = \frac{21}{2}. \]
Résultat cas 3 : \(\frac{21}{2}\).
Calcul du numérateur : \[ x+y = \frac{2}{5} + 2. \] Pour additionner, mettons 2 sous la forme d’une fraction avec dénominateur 5 : \[ 2 = \frac{10}{5} \quad \text{donc} \quad \frac{2}{5} + \frac{10}{5} = \frac{12}{5}. \]
Calcul du dénominateur : \[ xy = \frac{2}{5} \times 2 = \frac{4}{5}. \]
Division : \[ \frac{x+y}{xy} = \frac{\frac{12}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}. \] Les \(5\) se simplifient : \[ = \frac{12}{4} = 3. \]
Résultat cas 4 : \(3\).
Chaque résultat est présenté sous forme de fraction irréductible ou d’entier (considéré comme une fraction avec dénominateur 1).